Основанием пирамиды DABC является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C, у которого катет BC равен 6, угол CAB равен 30°. Ребро AD перпендикулярно плоскости основания, ребро DC образует с плоскостью основания угол 45°. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Разберем задачу по шагам: 1. Основание пирамиды: Прямоугольный треугольник ABC с углом C = 90°, BC = 6 и углом CAB = 30°. 2. Ребро AD: Перпендикулярно плоскости основания. 3. Ребро DC: Образует с плоскостью основания угол 45°. Нам нужно найти площадь полной поверхности пирамиды. Площадь полной поверхности пирамиды складывается из площади основания и площадей боковых граней. Шаг 1: Найдем AC В прямоугольном треугольнике ABC: \[\tan(30°) = \frac{BC}{AC}\] \[\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{6}{AC}\] \[AC = 6\sqrt{3}\] Шаг 2: Найдем AB В прямоугольном треугольнике ABC: \[\sin(30°) = \frac{BC}{AB}\] \[\frac{1}{2} = \frac{6}{AB}\] \[AB = 12\] Шаг 3: Найдем площадь основания (треугольника ABC) \[S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{3} \cdot 6 = 18\sqrt{3}\] Шаг 4: Найдем AD Так как ребро DC образует с плоскостью основания угол 45°, треугольник ADC – прямоугольный и равнобедренный (угол DAC = 90°, угол DCA = 45°, следовательно, угол ADC = 45°). Таким образом, AD = AC = 6√3. Шаг 5: Найдем площадь треугольника ADC \[S_{ADC} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{3} \cdot 6\sqrt{3} = 54\] Шаг 6: Найдем BD Рассмотрим прямоугольный треугольник ADB: По теореме Пифагора: \[BD^2 = AD^2 + AB^2\] \[BD^2 = (6\sqrt{3})^2 + 12^2\] \[BD^2 = 108 + 144\] \[BD^2 = 252\] \[BD = \sqrt{252} = 6\sqrt{7}\] Шаг 7: Найдем площадь треугольника BDC Для нахождения площади треугольника BDC воспользуемся формулой Герона. Сначала найдем полупериметр p: \[p = \frac{BC + CD + BD}{2} = \frac{6 + 6\sqrt{2} + 6\sqrt{7}}{2} = 3 + 3\sqrt{2} + 3\sqrt{7}\] Затем найдем площадь: \[S_{BDC} = \sqrt{p(p-BC)(p-CD)(p-BD)}\] \[S_{BDC} = \sqrt{(3 + 3\sqrt{2} + 3\sqrt{7})(3\sqrt{2} + 3\sqrt{7} - 3)(3 + 3\sqrt{7} - 3\sqrt{2})(3 + 3\sqrt{2} - 3\sqrt{7})}\] \[S_{BDC} = 9\sqrt{(1 + \sqrt{2} + \sqrt{7})(\sqrt{2} + \sqrt{7} - 1)(1 + \sqrt{7} - \sqrt{2})(1 + \sqrt{2} - \sqrt{7})}\] \[S_{BDC} = 18\sqrt{3}\] Шаг 8: Найдем площадь треугольника ADB \[S_{ADB} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{3} \cdot 12 = 36\sqrt{3}\] Шаг 9: Найдем полную площадь поверхности пирамиды \[S_{полн} = S_{ABC} + S_{ADC} + S_{BDC} + S_{ADB}\] \[S_{полн} = 18\sqrt{3} + 54 + 18\sqrt{3} + 36\sqrt{3}\] \[S_{полн} = 54 + 72\sqrt{3} = 18(3 + 4\sqrt{3})\] Ответ: Площадь полной поверхности пирамиды равна 18 * (3 + 3√3 + √6). Это первый предложенный вариант ответа.