Основанием пирамиды является ромб, сторона которого равна 24 см и острый угол равен 30°. Все углы, которые образуют боковые грани с плоскостью основания, равны 60°. Вычисли высоту и площадь боковой поверхности пирамиды. Высота пирамиды равна []√3 см. (В окошко обязательно впиши число, если коэффициент 1, то запиши это число.) Площадь боковой поверхности равна [] см^2.

Для решения этой задачи нам понадобятся знания о свойствах ромба, пирамиды и тригонометрии.

1. Найдем высоту пирамиды:

Пусть ромб ABCD - основание пирамиды, SO - высота пирамиды, где O - центр ромба. Так как все боковые грани образуют с плоскостью основания угол 60°, то высота пирамиды проецируется в центр ромба. Пусть SH - апофема (высота боковой грани), тогда угол SHO = 60°.

Площадь ромба можно найти по формуле: $$S = a^2 \cdot sin(\alpha)$$, где a - сторона ромба, \(\alpha\) - острый угол ромба.

$$S = 24^2 \cdot sin(30^\circ) = 576 \cdot \frac{1}{2} = 288 \text{ см}^2$$

Также площадь ромба можно найти как $$S = a \cdot h$$, где h - высота ромба, опущенная на сторону a.

Тогда высота ромба равна: $$h = \frac{S}{a} = \frac{288}{24} = 12 \text{ см}$$

Так как O - центр ромба, то высота ромба, проходящая через центр, делится пополам. Таким образом, расстояние от центра ромба до стороны равно половине высоты ромба: $$OH = \frac{h}{2} = \frac{12}{2} = 6 \text{ см}$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник SOH. Угол SHO = 60°. Тогда:

$$tan(60^\circ) = \frac{SO}{OH}$$, где SO - высота пирамиды.

$$SO = OH \cdot tan(60^\circ) = 6 \cdot \sqrt{3} \text{ см}$$

Таким образом, высота пирамиды равна $$6\sqrt{3}$$ см. Следовательно, в окошко нужно вписать число 6.

2. Найдем площадь боковой поверхности пирамиды:

Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей боковых граней. Поскольку все боковые грани наклонены под одним углом, можно воспользоваться формулой:

$$S_{\text{бок}} = \frac{S_{\text{осн}}}{\cos(\phi)}$$, где \(\phi\) - угол между боковой гранью и основанием, в нашем случае 60°.

$$S_{\text{бок}} = \frac{288}{\cos(60^\circ)} = \frac{288}{\frac{1}{2}} = 576 \text{ см}^2$$

Таким образом, площадь боковой поверхности равна 576 см².

Ответ:

Высота пирамиды равна 6√3 см.

Площадь боковой поверхности пирамиды равна 576 см².