3. Основанием прямоугольного параллелепипеда служит квадрат; диагональ параллелепипеда равна $$2\sqrt{6}$$ см, а его измерения относятся как 1 : 1 : 2. Найдите: а) измерения параллелепипеда; б) синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания.

Пусть измерения параллелепипеда равны x, x и 2x. Тогда, так как в основании квадрат, стороны основания равны x, а высота равна 2x. Диагональ параллелепипеда d связана с измерениями соотношением: $$d^2 = x^2 + x^2 + (2x)^2$$ $$(2\sqrt{6})^2 = x^2 + x^2 + 4x^2$$ $$4 * 6 = 6x^2$$ $$24 = 6x^2$$ $$x^2 = 4$$ $$x = 2$$ см. Таким образом, измерения параллелепипеда равны: а) 2 см, 2 см, 4 см. б) Пусть \(\alpha\) – угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью основания. Тогда синус этого угла равен отношению высоты параллелепипеда к диагонали: $$\sin(\alpha) = \frac{2x}{d} = \frac{4}{2\sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3}$$ Ответ: a) 2 см, 2 см, 4 см; б) $$\frac{\sqrt{6}}{3}$$