Основанием прямой призмы \( ABC A_1B_1C_1 \) является прямоугольный треугольник \( ABC \) с прямым углом \( A \) и катетами \( AC = 6 \) и \( AB = 8 \). Найдите угол между плоскостями \( ABC \) и \( A_1BC \), если \( AA_1 = 15 \).

1. Найдем \( BC \) из прямоугольного треугольника \( ABC \) по теореме Пифагора: \( BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \) 2. Рассмотрим треугольник \( AA_1C \): он прямоугольный, так как призма прямая. Тогда \( A_1C = \sqrt{AA_1^2 + AC^2} = \sqrt{15^2 + 6^2} = \sqrt{225 + 36} = \sqrt{261} \) 3. Рассмотрим треугольник \( AA_1B \): он прямоугольный, так как призма прямая. Тогда \( A_1B = \sqrt{AA_1^2 + AB^2} = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17 \) 4. Рассмотрим треугольник \( A_1BC \): известны все три стороны: \( A_1B = 17 \), \( A_1C = \sqrt{261} \), \( BC = 10 \). Пусть \( \angle A_1KB = \alpha \) - искомый угол между плоскостями \( ABC \) и \( A_1BC \). Для нахождения угла воспользуемся теоремой косинусов для треугольника \( A_1BC \): \( A_1C^2 = A_1B^2 + BC^2 - 2 \cdot A_1B \cdot BC \cdot \cos(\angle A_1BC) \) \( 261 = 289 + 100 - 2 \cdot 17 \cdot 10 \cdot \cos(\angle A_1BC) \) \( 340 \cdot \cos(\angle A_1BC) = 289 + 100 - 261 \) \( 340 \cdot \cos(\angle A_1BC) = 128 \) \( \cos(\angle A_1BC) = \frac{128}{340} = \frac{32}{85} \) Опустим перпендикуляр \( A_1K \) на сторону \( BC \). Рассмотрим треугольник \( A_1AK \), в котором \( AK \) - высота треугольника \( ABC \), проведенная из вершины \( A \) к гипотенузе \( BC \). Найдем \( AK \): \( S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AK \) \( AB \cdot AC = BC \cdot AK \) \( AK = \frac{AB \cdot AC}{BC} = \frac{8 \cdot 6}{10} = 4.8 \) В прямоугольном треугольнике \( A_1AK \): \( \tan(\angle A_1KA) = \frac{AA_1}{AK} = \frac{15}{4.8} = \frac{150}{48} = \frac{25}{8} = 3.125 \) \( \angle A_1KA = \arctan(3.125) \approx 72.26 \) Ответ: \( \arctan(3.125) \) или примерно \( 72.26^\circ \)