Основанием прямой призмы \(ABCA_1B_1C_1\) является прямоугольный треугольник \(ABC\) с прямым углом \(A\) и катетами \(AC = 3\) и \(AB = 4\). Найдите угол между плоскостями \(ABC\) и \(A_1BC\), если \(AA_1 = 9\).

Привет! Давайте решим эту задачу вместе. Нам нужно найти угол между плоскостями \(ABC\) и \(A_1BC\). Этот угол будет линейным углом двугранного угла, образованного этими плоскостями. Обозначим этот угол как \(\alpha\). 1. Найдем тангенс угла \(\alpha\). Тангенс угла между плоскостями равен отношению высоты призмы \(AA_1\) к высоте треугольника \(ABC\), проведенной к гипотенузе \(BC\). 2. Найдем гипотенузу \(BC\) треугольника \(ABC\) по теореме Пифагора: \[BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\] 3. Найдем площадь треугольника \(ABC\): \[S_{ABC} = \frac{1}{2} cdot AB cdot AC = \frac{1}{2} cdot 4 cdot 3 = 6\] 4. Найдем высоту \(AH\) треугольника \(ABC\), опущенную на гипотенузу \(BC\): Мы знаем, что площадь треугольника также можно выразить как: \[S_{ABC} = \frac{1}{2} cdot BC cdot AH\] Тогда: \[AH = \frac{2 cdot S_{ABC}}{BC} = \frac{2 cdot 6}{5} = \frac{12}{5} = 2.4\] 5. Найдем тангенс угла \(\alpha\): \[\tan(\alpha) = \frac{AA_1}{AH} = \frac{9}{2.4} = \frac{9}{\frac{12}{5}} = \frac{9 cdot 5}{12} = \frac{45}{12} = \frac{15}{4} = 3.75\] 6. Найдем угол \(\alpha\): Чтобы найти угол \(\alpha\), нужно взять арктангенс полученного значения: \[\alpha = \arctan(3.75)\] Теперь найдем значение арктангенса (в градусах): \[\alpha \approx 75.07 \text{ градусов}\] Мы получили значение угла в градусах. Итак, угол между плоскостями \(ABC\) и \(A_1BC\) равен арктангенсу 3.75, что приблизительно равно 75.07 градусам. Ответ: \(\arctan(3.75) \approx 75.07^{\circ}\) Теперь я объясню все по шагам, чтобы тебе было понятно: 1. Мы начали с определения, что нужно найти угол между плоскостями. Этот угол является линейным углом двугранного угла. 2. Затем мы вспомнили, что тангенс этого угла равен отношению высоты призмы к высоте треугольника, опущенной на гипотенузу. 3. Мы нашли гипотенузу треугольника по теореме Пифагора. 4. Потом мы нашли площадь треугольника, используя катеты. 5. Далее мы нашли высоту, опущенную на гипотенузу, используя формулу площади треугольника. 6. После этого мы нашли тангенс угла между плоскостями, разделив высоту призмы на высоту треугольника. 7. В конце мы нашли сам угол, взяв арктангенс полученного значения. Надеюсь, теперь тебе все понятно! Если у тебя есть еще вопросы, не стесняйся задавать.