Основания трапеции, вписанной в окружность, равны 8 и 6, высота трапеции равна 7. Найдите радиус описанной окружности.

Разберем решение задачи по шагам: 1. Понимание задачи и построение чертежа: - У нас есть трапеция, вписанная в окружность. Это означает, что все вершины трапеции лежат на окружности. Так как трапеция вписана в окружность, она является равнобедренной. - Основания трапеции равны 8 и 6, а высота равна 7. - Наша цель - найти радиус окружности, описанной вокруг этой трапеции. 2. Введение обозначений и рассмотрение прямоугольного треугольника: - Опустим высоту из вершины верхнего основания на нижнее. Получим прямоугольный треугольник. - Разность оснований равна ( 8 - 6 = 2 ). Эта разность делится пополам высотами, опущенными из обеих вершин верхнего основания, поэтому каждый из отрезков, отсекаемых высотами на нижнем основании, равен ( rac{2}{2} = 1 ). - Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, боковой стороной трапеции и отрезком на нижнем основании. 3. Нахождение боковой стороны трапеции по теореме Пифагора: - Пусть боковая сторона трапеции равна ( a ). Тогда, по теореме Пифагора, ( a^2 = 7^2 + 1^2 = 49 + 1 = 50 ). - Следовательно, ( a = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} ). 4. Использование формулы для радиуса описанной окружности: - Радиус ( R ) окружности, описанной вокруг трапеции, можно найти по формуле, применимой к равнобедренной трапеции: \[ R = \frac{abc}{4\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}} \] - Где ( a ) и ( b ) - боковые стороны (они равны), ( c ) - большее основание, а ( p ) - полупериметр треугольника, образованного боковыми сторонами и большим основанием. В нашем случае ( a = b = 5\sqrt{2} ) и ( c = 8 ). 5. Вычисление полупериметра и площади треугольника: - Полупериметр ( p = \frac{5\sqrt{2} + 5\sqrt{2} + 8}{2} = 5\sqrt{2} + 4 ). - Площадь треугольника можно найти по формуле Герона: \[ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{(5\sqrt{2}+4)(4)(4)(5\sqrt{2}-4)} \] \[ S = 4\sqrt{(5\sqrt{2}+4)(5\sqrt{2}-4)} = 4\sqrt{50 - 16} = 4\sqrt{34} \] 6. Вычисление радиуса: - Теперь мы можем найти радиус описанной окружности: \[ R = \frac{5\sqrt{2} cdot 5\sqrt{2} cdot 8}{4 cdot 4\sqrt{34}} = \frac{25 cdot 2 cdot 8}{16\sqrt{34}} = \frac{400}{16\sqrt{34}} = \frac{25}{\sqrt{34}} \] - Умножим числитель и знаменатель на ( \sqrt{34} ), чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе: \[ R = \frac{25\sqrt{34}}{34} \approx 4.27 \] 7. Нахождение радиуса окружности через другие методы (более простой способ): Так как трапеция равнобедренная и вписана в окружность, можно использовать формулу для нахождения радиуса описанной окружности через диагонали и стороны трапеции. Сначала найдем диагональ трапеции. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой трапеции, частью большего основания и диагональю. Часть большего основания равна 8 - 6 = 2. Тогда по теореме Пифагора, диагональ (d) \[ d = \sqrt{7^2 + (8-1)^2} = \sqrt{49 + 49} = \sqrt{98} = 7\sqrt{2} \] Теперь можно использовать формулу для радиуса описанной окружности: \[ R = \frac{d}{2sin(\alpha)} \] Где ( \alpha ) - угол между диагональю и основанием трапеции. ( sin(\alpha) = \frac{h}{d} = \frac{7}{7\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \) Тогда \[ R = \frac{7\sqrt{2}}{2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{7\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2} = \frac{7 \cdot 2}{2} = 7 \] Ответ: Радиус описанной окружности равен 7. Разъяснение для школьника: Представь себе трапецию, вписанную в круг. Чтобы найти радиус этого круга, нужно воспользоваться свойствами равнобедренной трапеции и теоремой Пифагора. Сначала находим боковую сторону трапеции, затем используем формулу для радиуса описанной окружности, которая связывает стороны трапеции и площадь образованного ими треугольника. В итоге, выполнив все вычисления, мы получаем радиус окружности. Важно помнить, что в равнобедренной трапеции боковые стороны равны, и это упрощает вычисления.