Основаниями трапеции, вписанной в окружность, служат диаметр этой окружности и хорда, равная радиусу. Найдите наибольший угол трапеции (в градусах).

Рассмотрим трапецию $$ABCD$$, вписанную в окружность, где $$AD$$ - диаметр окружности, а $$BC$$ - хорда, равная радиусу. Так как трапеция вписана в окружность, она является равнобедренной. Пусть $$O$$ - центр окружности. Соединим точки $$B$$ и $$C$$ с центром $$O$$. Тогда $$OB = OC = R$$, где $$R$$ - радиус окружности. Так как $$BC = R$$, треугольник $$BOC$$ - равносторонний, и $$\angle BOC = 60^{\circ}$$. Угол $$BOC$$ центральный, а угол $$BAC$$ - вписанный, опирающийся на ту же дугу $$BC$$. Тогда $$\angle BAC = \frac{1}{2} \angle BOC = \frac{1}{2} \cdot 60^{\circ} = 30^{\circ}$$. Угол $$BAD$$ равен углу $$BAC$$ (так как $$ABCD$$ равнобедренная трапеция), то есть $$\angle BAD = 30^{\circ}$$. Сумма углов прилежащих к боковой стороне трапеции равна $$180^{\circ}$$. Следовательно, $$\angle ABC = 180^{\circ} - \angle BAD = 180^{\circ} - 30^{\circ} = 150^{\circ}$$. Итак, углы трапеции равны $$30^{\circ}, 150^{\circ}, 150^{\circ}, 30^{\circ}$$. Наибольший угол трапеции равен $$150^{\circ}$$. Ответ: 150. Развернутое решение: 1. **Понимание условия:** Трапеция вписана в окружность, что означает, что все её вершины лежат на окружности. Одно из оснований трапеции – диаметр, а другое – хорда, равная радиусу окружности. 2. **Свойства трапеции, вписанной в окружность:** Если трапеция вписана в окружность, то она равнобедренная. 3. **Рассмотрение треугольника, образованного хордой и центром окружности:** Так как хорда $$BC$$ равна радиусу, то треугольник $$BOC$$ равносторонний. 4. **Вычисление угла $$BOC$$:** В равностороннем треугольнике все углы равны $$60^{\circ}$$, следовательно, $$\angle BOC = 60^{\circ}$$. 5. **Нахождение угла $$BAC$$:** Угол $$BAC$$ – вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, что и центральный угол $$BOC$$. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу: $$\angle BAC = \frac{1}{2} \cdot 60^{\circ} = 30^{\circ}$$. 6. **Определение угла $$BAD$$:** Так как трапеция равнобедренная, $$\angle BAD = 30^{\circ}$$. 7. **Нахождение угла $$ABC$$:** Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна $$180^{\circ}$$. Значит, $$\angle ABC = 180^{\circ} - 30^{\circ} = 150^{\circ}$$. 8. **Вывод:** Углы трапеции: $$30^{\circ}, 150^{\circ}, 150^{\circ}, 30^{\circ}$$. Наибольший угол равен $$150^{\circ}$$.