От пристани А к пристани В, расстояние между которыми равно 400 км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 5 часов после этого следом за ним, со скоростью на 4 км/ч большей, отправился второй. Найдите скорость второго теплохода, если в пункт В он прибыл одновременно с первым. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

1. Обозначим переменные:
   Пусть x км/ч — скорость первого теплохода.
   Тогда (x + 4) км/ч — скорость второго теплохода.
2. Время в пути:
   Время первого теплохода: t1 = 400 / x часов.
   Время второго теплохода: t2 = 400 / (x + 4) часов.
3. Составим уравнение:
   По условию, второй теплоход отправился через 5 часов после первого, и они прибыли одновременно. Значит, время первого теплохода на 5 часов больше времени второго.
   \[ \frac{400}{x} = \frac{400}{x + 4} + 5 \]
4. Решим уравнение:
   Приведем к общему знаменателю:
   \[ \frac{400(x + 4)}{x(x + 4)} = \frac{400x}{x(x + 4)} + \frac{5x(x + 4)}{x(x + 4)} \]
   Умножим обе части на x(x + 4):
   \[ 400(x + 4) = 400x + 5x(x + 4) \]
   \[ 400x + 1600 = 400x + 5x^2 + 20x \]
   Упростим:
   \[ 1600 = 5x^2 + 20x \]
   Разделим на 5:
   \[ 320 = x^2 + 4x \]
   \[ x^2 + 4x - 320 = 0 \]
5. Найдем корни квадратного уравнения (через дискриминант или по теореме Виета):
   D = 4² - 4 * 1 * (-320) = 16 + 1280 = 1296. \(\( \sqrt{D} = 36 \))
   \[ x1 = \frac{-4 + 36}{2} = \frac{32}{2} = 16 \]
   \[ x2 = \frac{-4 - 36}{2} = \frac{-40}{2} = -20 \]
6. Выберем подходящий корень:
   Скорость не может быть отрицательной, поэтому x = 16 км/ч.
   Скорость первого теплохода — 16 км/ч.
7. Найдем скорость второго теплохода:
   Скорость второго = x + 4 = 16 + 4 = 20 км/ч.

Проверка:
Время первого: 400 / 16 = 25 часов.
Время второго: 400 / 20 = 20 часов.
Разница во времени: 25 - 20 = 5 часов. Условие выполнено.

Ответ: 20 км/ч