У Мальвины есть квадратный лист цветной бумаги. Для изготовления елочной игрушки она отрезала от него полоску шириной 3 дм. Оказалось, что площадь оставшейся прямоугольной части составляет 40 дм². Какого размера была сторона квадратного листа бумаги изначально?

Решение:

1. Обозначим переменные:
   Пусть a дм — сторона квадратного листа бумаги изначально.
   Площадь квадрата = a² дм².
   Когда Мальвина отрезала полоску шириной 3 дм, одна из сторон квадрата уменьшилась на 3 дм.
2. Размеры оставшегося прямоугольника:
   Стороны прямоугольника: a дм и (a - 3) дм.
   (Мы предполагаем, что полоска была отрезана от одной из сторон, уменьшив ее длину. Если бы она была отрезана от середины, то остались бы два прямоугольника.)
3. Площадь прямоугольника:
   Площадь оставшейся части = a * (a - 3) дм².
   По условию, эта площадь равна 40 дм².
4. Составим уравнение:
   \[ a(a - 3) = 40 \]
5. Решим уравнение:
   \[ a^2 - 3a = 40 \]
   \[ a^2 - 3a - 40 = 0 \]
6. Найдем корни квадратного уравнения (через дискриминант или по теореме Виета):
   D = (-3)² - 4 * 1 * (-40) = 9 + 160 = 169.
   \(\( \sqrt{D} = 13 \))
   \[ a1 = \frac{3 + 13}{2} = \frac{16}{2} = 8 \]
   \[ a2 = \frac{3 - 13}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \]
7. Выберем подходящий корень:
   Длина стороны квадрата не может быть отрицательной, поэтому a = 8 дм.

Проверка:
Сторона квадрата = 8 дм.
Отрезали полоску шириной 3 дм. Длина второй стороны стала 8 - 3 = 5 дм.
Площадь оставшегося прямоугольника = 8 дм * 5 дм = 40 дм². Условие выполнено.

Ответ: 8 дм