От пристани А отправляется катер и идёт вниз по течению реки к пристани Б на максимально возможной скорости. Через время t1 = 30 минут в непосредственной близости от пристани Б у катера глохнет двигатель. Капитан катера не может причалить и принимает решение ликвидировать поломку двигателя на воде. На это уходит время t2 = 1 ч, в течение которого катер плывёт только благодаря движению воды. Успешно завершив ремонтные работы, капитан тут же направляет катер к пристани Б на максимальной скорости и причаливает к ней через время t = 2 ч с момента отправки от пристани А. Найди расстояние между пристанями L, если скорость течения реки и = 5 км/ч, а на обратный путь он затратил t = 4 ч и ехал без препятствий. Ответ вырази в километрах.

Обозначим: <ul> <li>$$L$$ – расстояние между пристанями А и Б (км)</li> <li>$$v$$ – собственная скорость катера (км/ч)</li> <li>$$u = 5$$ км/ч – скорость течения реки</li> <li>$$t_1 = 30$$ минут = 0,5 часа – время, когда катер плыл по течению до поломки</li> <li>$$t_2 = 1$$ час – время ремонта</li> <li>$$t = 2$$ часа – общее время в пути до пристани Б с момента отправления из А</li> <li>$$t_{обр} = 4$$ часа – время обратного пути от Б до А</li> </ul> <p>Расстояние, которое проплыл катер до поломки:</p> $$S_1 = (v + u) cdot t_1 = (v + 5) cdot 0.5$$ <p>Расстояние, которое проплыл катер во время ремонта:</p> $$S_2 = u cdot t_2 = 5 cdot 1 = 5$$ <p>Время, которое катер плыл после ремонта до пристани Б:</p> $$t_3 = t - t_1 - t_2 = 2 - 0.5 - 1 = 0.5 ext{ часа}$$ <p>Расстояние, которое катер проплыл после ремонта:</p> $$S_3 = (v + u) cdot t_3 = (v + 5) cdot 0.5$$ <p>Общее расстояние между пристанями А и Б:</p> $$L = S_1 + S_2 + S_3 = (v + 5) cdot 0.5 + 5 + (v + 5) cdot 0.5 = (v + 5) + 5 = v + 10$$ <p>Обратный путь (против течения):</p> $$L = (v - u) cdot t_{обр} = (v - 5) cdot 4$$ <p>Приравниваем два выражения для $$L$$:</p> $$v + 10 = (v - 5) cdot 4$$ $$v + 10 = 4v - 20$$ $$3v = 30$$ $$v = 10 ext{ км/ч}$$ <p>Теперь найдем расстояние $$L$$:</p> $$L = v + 10 = 10 + 10 = 20 ext{ км}$$ <p><strong>Ответ: 20 км</strong></p>