От станции А в направлении станции В, расстояние между которыми равно 240 км, отправились одновременно два поезда. Первый поезд прибыл на станцию В на 1 ч раньше второго. Найдите скорость каждого поезда, если второй проходит за 2 ч на 40 км больше, чем первый - за 1 ч.

Пусть скорость первого поезда равна \(v_1\) км/ч, а скорость второго поезда равна \(v_2\) км/ч. Расстояние между станциями равно 240 км. Время, которое первый поезд тратит на путь: \(t_1 = \frac{240}{v_1}\) Время, которое второй поезд тратит на путь: \(t_2 = \frac{240}{v_2}\) Из условия задачи известно, что первый поезд прибыл на 1 час раньше второго: \(t_2 - t_1 = 1\) или \(\frac{240}{v_2} - \frac{240}{v_1} = 1\) (1) Также, второй поезд за 2 часа проходит на 40 км больше, чем первый за 1 час: \(2v_2 = v_1 + 40\) или \(v_1 = 2v_2 - 40\) (2) Подставим (2) в (1): \(\frac{240}{v_2} - \frac{240}{2v_2 - 40} = 1\) Умножим обе части на \(v_2(2v_2-40)\): \(240(2v_2-40) - 240v_2 = v_2(2v_2-40)\) \(480v_2 - 9600 - 240v_2 = 2v_2^2 - 40v_2\) \(2v_2^2 - 280v_2 + 9600 = 0\) Разделим на 2: \(v_2^2 - 140v_2 + 4800 = 0\) Решим квадратное уравнение: \(D = 140^2 - 4 * 4800 = 19600 - 19200 = 400\) \(v_2 = \frac{140 \pm \sqrt{400}}{2} = \frac{140 \pm 20}{2}\) \(v_{2_1} = 80, v_{2_2} = 60\) Если \(v_2 = 80\), то \(v_1 = 2*80 - 40 = 120\). Если \(v_2 = 60\), то \(v_1 = 2*60 - 40 = 80\). Проверим первый вариант: \(\frac{240}{80} - \frac{240}{120} = 3-2=1\) - подходит Проверим второй вариант: \(\frac{240}{60} - \frac{240}{80} = 4-3=1\) - подходит. Изначально, при условии, что первый поезд быстрее, остается один вариант с \(v_1=120\) и \(v_2=80\). Скорость первого поезда 120 км/ч, скорость второго поезда 80 км/ч.