Отметьте на координатной плоскости точки А(-4; 0), B(2; 6), C(-4; 3) и D(4; - 1). Проведите луч АВ и отрезок CD. Найдите координаты точки пересечения луча АВ и отрезка CD.

Для решения этой задачи построим точки А(-4; 0) и B(2; 6) на координатной плоскости и проведем луч, исходящий из А через В. Затем построим отрезок, соединяющий точки C(-4; 3) и D(4; -1). После этого найдем координаты точки пересечения луча АВ и отрезка CD.

Шаг 1: Построение точек и луча АВ

Отмечаем точки А(-4; 0) и B(2; 6) на координатной плоскости.

Шаг 2: Построение отрезка CD

Отмечаем точки C(-4; 3) и D(4; -1) на координатной плоскости.

Шаг 3: Нахождение уравнения луча АВ

Сначала найдем уравнение прямой, проходящей через точки А(-4; 0) и B(2; 6). Угловой коэффициент $$k$$ равен:

\[ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{6 - 0}{2 - (-4)} = \frac{6}{2 + 4} = \frac{6}{6} = 1 \]

Уравнение прямой имеет вид $$y - y_1 = k(x - x_1)$$. Подставим координаты точки А:

\[ y - 0 = 1(x - (-4)) \]

\[ y = x + 4 \]

Так как луч АВ исходит из А(-4; 0) и проходит через B(2; 6), то для точек на луче $$x ≥ -4$$ и $$y ≥ 0$$.

Шаг 4: Нахождение уравнения отрезка CD

Сначала найдем уравнение прямой, проходящей через точки C(-4; 3) и D(4; -1). Угловой коэффициент $$k$$ равен:

\[ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-1 - 3}{4 - (-4)} = \frac{-4}{4 + 4} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2} \]

Уравнение прямой имеет вид $$y - y_1 = k(x - x_1)$$. Подставим координаты точки D:

\[ y - (-1) = -\frac{1}{2}(x - 4) \]

\[ y + 1 = -\frac{1}{2}(x - 4) \]

\[ 2(y + 1) = -(x - 4) \]

\[ 2y + 2 = -x + 4 \]

\[ x + 2y - 2 = 0 \]

Для отрезка CD, значения x лежат в диапазоне от -4 до 4, а значения y — от -1 до 3.

Шаг 5: Нахождение точки пересечения

Чтобы найти точку пересечения луча АВ и отрезка CD, решим систему уравнений:

\[ \begin{cases} y = x + 4 \\ x + 2y - 2 = 0 \end{cases} \]

Подставим первое уравнение во второе:

\[ x + 2(x + 4) - 2 = 0 \]

\[ x + 2x + 8 - 2 = 0 \]

\[ 3x + 6 = 0 \]

\[ 3x = -6 \]

\[ x = -2 \]

Теперь найдем $$y$$:

\[ y = -2 + 4 = 2 \]

Координаты точки пересечения (-2; 2).

Шаг 6: Проверка, лежит ли точка пересечения на луче АВ и отрезке CD

Для луча АВ: $$x = -2$$. Поскольку $$-2 ≥ -4$$, точка лежит на луче.

Для отрезка CD: $$x = -2$$ и $$y = 2$$. Координата x (-2) находится между -4 и 4. Координата y (2) находится между -1 и 3. Следовательно, точка (-2; 2) лежит на отрезке CD.

Ответ: (-2; 2)