Отметьте на координатной плоскости точки A (-4; 2), B (0; -3) и M (5; 2). Проведите прямую AB. Через точку M проведите прямую m, параллельную прямой AB, и прямую n, перпендикулярную прямой AB.

Решение:

Построим координатную плоскость и отметим точки A(-4; 2), B(0; -3) и M(5; 2).

1. Проведем прямую AB.

2. Найдем уравнение прямой AB.
Угловой коэффициент \( k_{AB} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-3 - 2}{0 - (-4)} = \frac{-5}{4} \).
Уравнение прямой, проходящей через точку \( (x_0, y_0) \) с угловым коэффициентом \( k \), имеет вид: \( y - y_0 = k(x - x_0) \).
Используем точку B(0; -3): \( y - (-3) = -\frac{5}{4}(x - 0) \)
\( y + 3 = -\frac{5}{4}x \)
\( y = -\frac{5}{4}x - 3 \).

3. Через точку M(5; 2) проведем прямую m, параллельную прямой AB.
Параллельные прямые имеют одинаковый угловой коэффициент. Значит, \( k_m = k_{AB} = -\frac{5}{4} \).
Уравнение прямой m: \( y - 2 = -\frac{5}{4}(x - 5) \)
\( y - 2 = -\frac{5}{4}x + \frac{25}{4} \)
\( y = -\frac{5}{4}x + \frac{25}{4} + 2 \)
\( y = -\frac{5}{4}x + \frac{25+8}{4} \)
\( y = -\frac{5}{4}x + \frac{33}{4} \).

4. Через точку M(5; 2) проведем прямую n, перпендикулярную прямой AB.
Для перпендикулярных прямых произведение угловых коэффициентов равно -1: \( k_n \cdot k_{AB} = -1 \)
\( k_n \cdot (-\frac{5}{4}) = -1 \)
\( k_n = -1 : (-\frac{5}{4}) = \frac{4}{5} \).
Уравнение прямой n: \( y - 2 = \frac{4}{5}(x - 5) \)
\( y - 2 = \frac{4}{5}x - 4 \)
\( y = \frac{4}{5}x - 4 + 2 \)
\( y = \frac{4}{5}x - 2 \).

Ответ: Уравнение прямой AB: \( y = -\frac{5}{4}x - 3 \). Уравнение прямой m: \( y = -\frac{5}{4}x + \frac{33}{4} \). Уравнение прямой n: \( y = \frac{4}{5}x - 2 \).