Отношение T – «иметь одно и то же число делителей» задано на множестве X = {1, 2, 4, 6, 7, 8, 10, 11}. Является ли T отношением эквивалентности? Отношением порядка?

Чтобы определить, является ли отношение T отношением эквивалентности или отношением порядка, нужно проверить соответствующие свойства.

Сначала определим количество делителей для каждого элемента множества X:

• 1: {1} - 1 делитель
• 2: {1, 2} - 2 делителя
• 4: {1, 2, 4} - 3 делителя
• 6: {1, 2, 3, 6} - 4 делителя
• 7: {1, 7} - 2 делителя
• 8: {1, 2, 4, 8} - 4 делителя
• 10: {1, 2, 5, 10} - 4 делителя
• 11: {1, 11} - 2 делителя

Теперь определим пары элементов, находящихся в отношении T (имеют одинаковое количество делителей):

• (2, 7), (2, 11), (7, 11) - имеют 2 делителя
• (6, 8), (6, 10), (8, 10) - имеют 4 делителя

Отношение эквивалентности:

Отношение должно быть рефлексивным, симметричным и транзитивным.

• Рефлексивность: Для всех a из X, (a, a) должно принадлежать T. В данном случае, (1, 1), (2, 2), (4, 4), (6, 6), (7, 7), (8, 8), (10, 10), (11, 11) должны принадлежать T. Это верно, так как каждое число имеет такое же количество делителей, что и само себя.
• Симметричность: Если (a, b) принадлежит T, то и (b, a) должно принадлежать T. Это также выполняется, так как если a и b имеют одинаковое количество делителей, то это верно и в обратную сторону.
• Транзитивность: Если (a, b) и (b, c) принадлежат T, то и (a, c) должно принадлежать T. Например, (2, 7) и (7, 11) принадлежат T, значит, (2, 11) тоже должно принадлежать T. Это выполняется, так как если a и b имеют одинаковое количество делителей, и b и c имеют одинаковое количество делителей, то a и c также имеют одинаковое количество делителей.

Следовательно, отношение T является отношением эквивалентности.

Отношение порядка:

Отношение должно быть рефлексивным, антисимметричным и транзитивным.

• Рефлексивность: Как уже выяснили, выполняется.
• Антисимметричность: Если (a, b) принадлежит T и (b, a) принадлежит T, то a = b. В нашем случае, это означает, что если a и b имеют одинаковое количество делителей, то a должно быть равно b. Это неверно, так как, например, (2, 7) принадлежит T, но 2 ≠ 7.

Следовательно, отношение T не является отношением порядка.

Ответ: Отношение T является отношением эквивалентности, но не является отношением порядка.