171. Отрезки AB и CD пересекаются в их общей середине О, точки M и N — середины отрезков AC и BD. Докажите, что точка О — середина отрезка MN.

Доказательство: 1. Поскольку O – середина AB и CD, то AO = OB и CO = OD. 2. Рассмотрим треугольники AOC и BOD. ∠AOC = ∠BOD (как вертикальные). 3. Значит, треугольники AOC и BOD равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). 4. Из равенства треугольников следует, что AC = BD и ∠OAC = ∠OBD. 5. Поскольку M – середина AC, то AM = MC = AC/2. Поскольку N – середина BD, то BN = ND = BD/2. 6. Так как AC = BD, то AM = BN. 7. Рассмотрим треугольники AOM и BON. AO = BO (O – середина AB). AM = BN (доказано выше). ∠OAM = ∠OBN (∠OAC = ∠OBD). 8. Следовательно, треугольники AOM и BON равны по первому признаку равенства треугольников. 9. Из равенства треугольников следует, что OM = ON и ∠AOM = ∠BON. 10. Значит, O – середина MN. Что и требовалось доказать.