Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
Угол \( ACB \) является вписанным углом, который опирается на дугу \( AB \). Величина дуги \( AB \) равна удвоенному значению вписанного угла, опирающегося на неё:
\( \text{дуга } AB = 2 · ∠ ACB \)
\( \text{дуга } AB = 2 · 78^\circ = 156^\circ \)
Угол \( AOD \) является центральным углом, который опирается на ту же дугу \( AD \) (в данной конфигурации, если AC и BD - диаметры, то угол AOD и угол BOC вертикальны, а угол ACB опирается на дугу AB. Угол AOD опирается на дугу AD. Связь через вертикальные углы).
Рассмотрим треугольник \( BOC \). \( OB = OC \) (радиусы), значит, треугольник \( BOC \) равнобедренный.
Угол \( BOC \) является центральным углом, опирающимся на дугу \( BC \).
Так как \( AC \) и \( BD \) — диаметры, то \( ∠ ACB \) и \( ∠ ADB \) опираются на одну и ту же дугу \( AB \). Следовательно, \( ∠ ADB = ∠ ACB = 78^\circ \).
Рассмотрим треугольник \( AOD \). \( OA = OD \) (радиусы), значит, треугольник \( AOD \) равнобедренный.
Угол \( AOD \) является центральным углом, опирающимся на дугу \( AD \).
Также, \( ∠ BOC = ∠ AOD \) как вертикальные углы.
В треугольнике \( BOC \), \( ∠ OBC = ∠ OCB \) (так как \( OB = OC \)).
Угол \( BOC \) является смежным с углом \( AOB \), и \( ∠ ACB \) = 78°.
Угол \( AOB \) и \( ∠ ACB \) не связаны напрямую. Угол \( ACB \) опирается на дугу \( AB \).
Центральный угол, опирающийся на дугу \( AB \), равен \( ∠ AOB \).
\( ∠ AOB = 2 · ∠ ACB = 2 · 78^\circ = 156^\circ \). (Это неверно, т.к. \( ∠ ACB \) - вписанный, а \( ∠ AOB \) - центральный, опирающийся на ту же дугу).
Правильное рассуждение:
\( ∠ ACB \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( AB \). Следовательно, величина дуги \( AB \) равна \( 2 · ∠ ACB = 2 · 78^\circ = 156^\circ \).
\( ∠ AOB \) — центральный угол, опирающийся на дугу \( AB \). Значит, \( ∠ AOB = 156^\circ \).
Углы \( AOD \) и \( BOC \) являются вертикальными, поэтому \( ∠ AOD = ∠ BOC \).
Углы \( AOB \) и \( BOC \) — смежные, их сумма равна 180°.
\( ∠ BOC = 180^\circ - ∠ AOB = 180^\circ - 156^\circ = 24^\circ \).
Так как \( ∠ AOD = ∠ BOC \), то \( ∠ AOD = 24^\circ \).
Ответ: 24
