97 Отрезки АС и BD точкой пересечения делятся пополам. Докажите, что ДАВС = ∆CDA. 98 В треугольниках АВС и АВ₁C₁ AB = A1B1, AC = A₁C1, ∠A = ∠A1. На сторонах АВ и А₁В₁ отмечены точки Р и Р₁ так, что АР = А₁Р1. Докажите, что ДВРС = ∆B1P1C1 99 На сторонах угла CAD отмечены точки В и Е так, что точка В лежит на отрезке АС, а точка Е на отрезке AD, причём АС = AD и АВ = АЕ. Докажите, что ∠CBD = ∠DEC.

Для решения данных задач необходимо применять признаки равенства треугольников и свойства равнобедренных треугольников.

1. 97. Отрезки АС и BD точкой пересечения делятся пополам. Докажите, что ΔАВС = ΔCDA.

   Пусть точка пересечения отрезков АС и BD – точка О. Тогда, по условию, АО = ОС и ВО = OD. Рассмотрим треугольники АВО и CDO: АО = ОС, ВО = OD (по условию), углы AOB и COD равны как вертикальные углы. Следовательно, ΔАВО = ΔCDO по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует, что АВ = CD и ∠ABO = ∠CDO. Рассмотрим треугольники АВС и CDA: АВ = CD (доказано выше), ВС = DA (так как BO = OD и AO = OC, то ВС = BO + OC = OD + OA = DA), АС – общая сторона. Следовательно, ΔАВС = ΔCDA по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

2. 98. В треугольниках АВС и А₁В₁C₁ AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, ∠A = ∠A₁. На сторонах АВ и А₁В₁ отмечены точки Р и Р₁ так, что АР = А₁Р₁. Докажите, что ΔВРС = ΔB₁P₁C₁

   Рассмотрим треугольники АВС и А₁В₁C₁: AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, ∠A = ∠A₁ (по условию). Следовательно, ΔАВС = ΔА₁В₁C₁ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Тогда ВС = В₁С₁ и ∠ABC = ∠A₁B₁C₁. Так как АР = А₁Р₁, то BP = AB - AP = A₁B₁ - A₁P₁ = B₁P₁. Следовательно, рассмотрим треугольники ВРС и В₁Р₁C₁: BP = B₁P₁, ВС = В₁С₁, ∠ABC = ∠A₁B₁C₁. Следовательно, ΔВРС = ΔB₁P₁C₁ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

3. 99. На сторонах угла CAD отмечены точки В и Е так, что точка В лежит на отрезке АС, а точка Е на отрезке AD, причём АС = AD и АВ = АЕ. Докажите, что ∠CBD = ∠DEC.

   Рассмотрим треугольник АСD: АС = AD (по условию), следовательно, ΔАСD равнобедренный с основанием CD. Тогда ∠ACD = ∠ADC как углы при основании равнобедренного треугольника. Рассмотрим треугольники АВЕ и ACD: АВ = АЕ, АС = AD (по условию), ∠BAC = ∠EAD (как общий угол). Следовательно, ΔАВЕ = ΔАЕС по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Тогда ∠ABE = ∠ADE. ∠CBD = ∠ABC - ∠ABD и ∠DEC = ∠AED - ∠AEC. Учитывая, что ∠ABC = ∠AED и ∠ABD = ∠AEC, получаем ∠CBD = ∠DEC.