144 Отрезки АВ и CD — диаметры окружности. Докажите, что: а) хорды BD и АС равны; б) хорды AD и ВС равны; в) ∠BAD=∠BCD.

Для доказательства этих утверждений потребуется использование свойств окружности и теорем геометрии. а) Доказательство равенства хорд BD и AC: Так как AB и CD - диаметры, то центр окружности (назовем его O) является серединой каждого из них. Рассмотрим треугольники DOC и BOA. У них: DO = OB (радиусы), OC = OA (радиусы), и ∠DOC = ∠BOA (вертикальные углы). Следовательно, треугольники DOC и BOA равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует равенство сторон: DC = BA. Теперь рассмотрим треугольники AOD и BOC. Они также равны по первому признаку (AO = OC, DO = OB, ∠AOD = ∠BOC). Следовательно, AD = BC. б) Доказательство равенства хорд AD и BC: Аналогично предыдущему пункту, так как AB и CD - диаметры, то центр окружности (назовем его O) является серединой каждого из них. Рассмотрим треугольники AOD и BOC. Они также равны по первому признаку (AO = OC, DO = OB, ∠AOD = ∠BOC). Следовательно, AD = BC. в) Доказательство равенства углов ∠BAD=∠BCD: Углы ∠BAD и ∠BCD - вписанные углы, опирающиеся на равные хорды BD и AD, что мы доказали в пунктах а) и б). Вписанные углы, опирающиеся на равные хорды, равны. Следовательно, ∠BAD=∠BCD.