144 Отрезки АВ и CD - диаметры окружности. Докажите, что: а) хорды BD и АС равны; б) хорды AD и ВС равны; в) ∠BAD = ∠BCD.

Доказательство:

1. а) Докажем, что хорды BD и AC равны.

   Рассмотрим треугольники AOD и BOC.

   AO = OB (радиусы окружности)

   CO = OD (радиусы окружности)

   ∠AOD = ∠BOC (вертикальные углы)

   Следовательно, треугольники AOD и BOC равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

   Из равенства треугольников следует, что AC = BD (как соответственные элементы).

2. б) Докажем, что хорды AD и BC равны.

   Рассмотрим треугольники AOB и DOC.

   AO = OD (радиусы окружности)

   BO = OC (радиусы окружности)

   ∠AOB = ∠DOC (вертикальные углы)

   Следовательно, треугольники AOB и DOC равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

   Из равенства треугольников следует, что AD = BC (как соответственные элементы).

3. в) Докажем, что ∠BAD = ∠BCD.

   Т.к. AD = BC (доказано в пункте б), то дуги, на которые опираются эти хорды, также равны: ◡AD = ◡BC.

   Рассмотрим ∠BAD. Он опирается на дугу BD.

   Рассмотрим ∠BCD. Он опирается на дугу AD.

   Учитывая, что ◡AD = ◡BC, то ∠BAD = ∠BCD (как вписанные углы, опирающиеся на равные дуги).

Ответ: Доказано равенство хорд BD и AC, AD и BC, а также углов ∠BAD и ∠BCD.