2. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О так, что АО = 10 см, OB = 15 см, СО = 6 см и OD = 9 см. Найдите длину отрезков АС и BD, если угол ACD равен 90°.

Давай разберем по порядку. Имеем два отрезка \(AB\) и \(CD\), пересекающиеся в точке \(O\).

Из условия задачи известны длины отрезков: \(AO = 10\) см, \(OB = 15\) см, \(CO = 6\) см, \(OD = 9\) см. Также известно, что \(\angle ACD = 90°\).

Нам нужно найти длины отрезков \(AC\) и \(BD\).

Рассмотрим треугольники \(\triangle AOC\) и \(\triangle BOD\). Проверим, подобны ли они:

\[\frac{AO}{OD} = \frac{10}{9}\]

\[\frac{CO}{OB} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}\]

Так как отношения сторон не равны, то треугольники \(\triangle AOC\) и \(\triangle BOD\) не подобны.

Рассмотрим треугольники \(\triangle AOC\) и \(\triangle DOB\). Проверим, подобны ли они:

\[\frac{AO}{OB} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}\]

\[\frac{CO}{OD} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}\]

Отношения \(AO\) к \(OB\) и \(CO\) к \(OD\) равны, то есть стороны \(AO\) и \(CO\) пропорциональны сторонам \(OB\) и \(OD\). Углы \(\angle AOC\) и \(\angle BOD\) равны как вертикальные углы. Следовательно, \(\triangle AOC \sim \triangle BOD\) по второму признаку подобия треугольников.

Раз \(\triangle AOC \sim \triangle BOD\), то \(\angle ACO = \angle DBO\). По условию \(\angle ACD = 90°\). Следовательно, \(\angle DBO = 90°\).

Теперь найдем длины отрезков \(AC\) и \(BD\).

Рассмотрим \(\triangle AOC\). По теореме Пифагора:

\[AC^2 = AO^2 + CO^2\]

\[AC^2 = 10^2 + 6^2 = 100 + 36 = 136\]

\[AC = \sqrt{136} = 2\sqrt{34}\] см

Рассмотрим \(\triangle BOD\). По теореме Пифагора:

\[BD^2 = OB^2 + OD^2\]

\[BD^2 = 15^2 + 9^2 = 225 + 81 = 306\]

\[BD = \sqrt{306} = 3\sqrt{34}\] см

Ответ: \(AC = 2\sqrt{34}\) см, \(BD = 3\sqrt{34}\) см