3. Отрезки ЛВ и СД пересекаются в точке К так, что АК = 24, ВК = 8, СК = 35, ДК = 12. Найдите величину < КАС и отношение площадей треугольников АКС и ВКД, если < КВД = 61.

3. Рассмотрим треугольники AKC и BKД.

Дано: AK = 24, BK = 8, CK = 35, ДK = 12, ∠KВД = 61°.

Найдем ∠КАС и отношение площадей треугольников АКС и ВКД.

Проверим, подобны ли треугольники AKC и BKД:

$$\frac{AK}{ДK} = \frac{24}{12} = 2$$

$$\frac{CK}{BK} = \frac{35}{8} = 4.375$$

Треугольники AKC и BKД не подобны, так как \(\frac{AK}{ДK}
eq \frac{CK}{BK}\).

Рассмотрим треугольники AKC и ДKB:

$$\frac{AK}{BK} = \frac{24}{8} = 3$$

$$\frac{CK}{ДK} = \frac{35}{12} = 2.91(6) \approx 3$$

Углы AKC и ДKB равны как вертикальные.

Треугольники AKC и ДKB подобны по второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними).

Угол ∠КАС = ∠KВД = 61° как соответственные углы подобных треугольников.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Коэффициент подобия равен отношению сходственных сторон, то есть:

$$k = \frac{AK}{BK} = \frac{24}{8} = 3$$

Отношение площадей равно:

$$k^2 = 3^2 = 9$$

Следовательно, отношение площадей треугольников АКС и ВКД равно 9.

Ответ: ∠КАС = 61°, отношение площадей треугольников АКС и ВКД равно 9.