Отрезок AD перпендикулярен к плоскости равнобедренного треугольника ABC. Известно, что AB = AC = 5 см, BC = 6 см, AD = 12 см. Найдите расстояния от концов отрезка AD до прямой BC.

Для решения этой задачи нам нужно найти расстояние от точек A и D до прямой BC. Поскольку AD перпендикулярен плоскости ABC, то расстояние от точки D до прямой BC равно расстоянию от проекции точки D на плоскость ABC (точки A) до прямой BC. Расстояние от точки A до BC — это высота треугольника ABC, опущенная на сторону BC. 1. Найдем высоту AH равнобедренного треугольника ABC, опущенную на основание BC. Так как треугольник ABC равнобедренный (AB = AC), высота AH является также и медианой, поэтому BH = HC = BC/2 = 6/2 = 3 см. 2. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. По теореме Пифагора: $$AH^2 + BH^2 = AB^2$$ $$AH^2 + 3^2 = 5^2$$ $$AH^2 = 25 - 9 = 16$$ $$AH = \sqrt{16} = 4$$ см. Таким образом, расстояние от точки A до прямой BC равно 4 см. 3. Расстояние от точки D до прямой BC найдем, рассмотрев прямоугольный треугольник DAH, где DH - расстояние от D до прямой BC. DH - гипотенуза, AD и AH - катеты. По теореме Пифагора для треугольника DAH: $$DH^2 = AD^2 + AH^2$$ $$DH^2 = 12^2 + 4^2$$ $$DH^2 = 144 + 16 = 160$$ $$DH = \sqrt{160} = \sqrt{16 * 10} = 4\sqrt{10}$$ см. Ответ: Расстояние от точки A до BC равно 4 см, расстояние от точки D до BC равно $$4\sqrt{10}$$ см.