Отрезок $$BM$$ – медиана равнобедренного треугольника $$ABC$$ ($$AB = BC$$). На стороне $$AB$$ отметили точку $$K$$ такую, что $$KM \parallel BC$$. Докажите, что $$BK = KM$$.

Докажем, что $$BK = KM$$.

Дано: треугольник $$ABC$$ – равнобедренный ($$AB = BC$$), $$BM$$ – медиана, $$KM \parallel BC$$.

Доказать: $$BK = KM$$.

Доказательство:

1. Так как $$BM$$ – медиана, то $$AM = MC$$.
2. Так как треугольник $$ABC$$ равнобедренный, то углы при основании равны, т.е. $$\angle BAC = \angle BCA$$.
3. $$KM \parallel BC$$, следовательно, $$\angle AKM = \angle ABC$$ как соответственные углы при параллельных прямых $$KM$$ и $$BC$$ и секущей $$AB$$.
4. Так как $$BM$$ – медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, то она также является биссектрисой и высотой. Следовательно, $$\angle ABM = \angle CBM$$ и $$BM \perp AC$$.
5. Рассмотрим треугольник $$KBM$$. $$\angle KMB = \angle MBC$$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $$KM$$ и $$BC$$ и секущей $$BM$$. Так как $$\angle ABM = \angle CBM$$, то $$\angle KMB = \angle ABM$$.
6. Следовательно, треугольник $$KBM$$ – равнобедренный с основанием $$BM$$, так как углы при основании равны. Значит, $$BK = KM$$.

Что и требовалось доказать.