Отрезок BM — медиана равнобедренного треугольника ABC (AB = BC). На стороне AB отметили точку K такую, что KM || BC. Докажите, что BK = KM.

Доказательство:

Дан равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC. BM — медиана, значит, M — середина AC.

KM || BC. Так как KM параллельна BC, то по теореме о пропорциональных отрезках (или по свойствам подобных треугольников) треугольник AKM подобен треугольнику ABC.

Из подобия треугольников AKM и ABC следует, что отношение сторон равно:

\( \frac{AK}{AB} = \frac{AM}{AC} = \frac{KM}{BC} \)

Поскольку M — середина AC, то AM = MC = AC/2. Следовательно, \( \frac{AM}{AC} = \frac{AC/2}{AC} = \frac{1}{2} \).

Тогда, \( \frac{AK}{AB} = \frac{1}{2} \) и \( \frac{KM}{BC} = \frac{1}{2} \).

Из \( \frac{AK}{AB} = \frac{1}{2} \) следует, что AK = AB/2. Значит, K — середина AB.

Из \( \frac{KM}{BC} = \frac{1}{2} \) следует, что KM = BC/2.

По условию AB = BC. Следовательно, AB/2 = BC/2.

Так как AK = AB/2 и KM = BC/2, и AB = BC, то AK = KM.

Более того, так как K — середина AB, то BK = AB/2. А мы уже установили, что KM = BC/2.

Поскольку AB = BC, то BK = AB/2 = BC/2 = KM.

Таким образом, доказано, что BK = KM.