488. Отрезок CD - диаметр окружности с центром O. На окружности отметили точку E так, что ∠COE = 90°. Докажите, что CE = DE.

Так как CD - диаметр, то CO = OD = r, где r - радиус окружности. Рассмотрим треугольник COE. Так как CO = OE = r, треугольник COE - равнобедренный. ∠COE = 90°, следовательно, треугольник COE - равнобедренный прямоугольный. Тогда CE = \(\sqrt{CO^2 + OE^2}\) = \(\sqrt{r^2 + r^2}\) = \(\sqrt{2r^2}\) = r\(\sqrt{2}\). Опустим перпендикуляр из точки E на диаметр CD, назовем точку пересечения перпендикуляра и диаметра точкой F. Тогда EF - высота прямоугольного треугольника COE, проведенная к гипотенузе. Следовательно, CF = OF = CO/2 = r/\(\sqrt{2}\). Рассмотрим треугольник ODE. OD = OE = r, значит, он равнобедренный. \(\angle\)DOE = 180° - \(\angle\)COE = 180° - 90° = 90°. Значит, треугольник ODE - равнобедренный прямоугольный. Следовательно, DE = \(\sqrt{OD^2 + OE^2}\) = \(\sqrt{r^2 + r^2}\) = \(\sqrt{2r^2}\) = r\(\sqrt{2}\). Таким образом, CE = DE = r\(\sqrt{2}\), что и требовалось доказать.