1. Отрезок, соединяющий середину основания равнобедренного треугольника с противолежащей вершиной, равен 5 см. Периметр одного из отсеченных им треугольников равен 30 см. Найдите периметр данного треугольника. 2. Перпендикулярно биссектрисе угла О проведена прямая, пересекающая его стороны в точках А и В. Докажите, что треугольник АОВ равнобедренный.

Разберем задачи по геометрии.

1. Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, в котором отрезок, соединяющий середину основания AC (точку D) с вершиной B, равен 5 см. Этот отрезок является высотой и медианой треугольника ABC. Также дано, что периметр одного из отсеченных треугольников (например, треугольника ABD) равен 30 см. Необходимо найти периметр треугольника ABC.

Так как BD – медиана, опущенная на основание равнобедренного треугольника ABC, то она также является высотой и биссектрисой. Следовательно, треугольник ABD – прямоугольный. Периметр треугольника ABD равен сумме длин его сторон: $$P_{ABD} = AB + AD + BD$$

Из условия задачи известно, что $$BD = 5 ext{ см}$$ и $$P_{ABD} = 30 ext{ см}$$. Тогда $$AB + AD = 30 - 5 = 25 ext{ см}$$

Так как AD – половина основания AC, то $$AC = 2AD$$. Периметр треугольника ABC равен сумме длин его сторон: $$P_{ABC} = AB + BC + AC$$ Поскольку треугольник ABC равнобедренный, $$AB = BC$$, следовательно, $$P_{ABC} = 2AB + AC = 2AB + 2AD = 2(AB + AD) = 2 cdot 25 = 50 ext{ см}$$

Ответ: периметр треугольника ABC равен 50 см.

2. Дано: Угол AOB, OC - биссектриса угла AOB, прямая AB перпендикулярна OC и пересекает стороны угла в точках A и B. Доказать, что треугольник AOB равнобедренный.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники AOC и BOC. OC - общая сторона. ∠AOC = ∠BOC, так как OC - биссектриса угла AOB. ∠ACO = ∠BCO = 90°, так как AB перпендикулярна OC.

Следовательно, треугольники AOC и BOC равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AO = BO.

Таким образом, треугольник AOB равнобедренный, так как две его стороны равны.

Что и требовалось доказать.