2. Отрезок ВМ перпендикулярен плоскости Д АВС, где <C=90°, AB=17, AC=8. Найдите расстояние от точки М до прямой АС, если MB=20.

Пусть дан треугольник ABC, у которого угол C прямой. Отрезок BM перпендикулярен плоскости треугольника ABC. Необходимо найти расстояние от точки M до прямой AC, если AB = 17, AC = 8, MB = 20.

Расстояние от точки M до прямой AC - это длина перпендикуляра, опущенного из точки M на прямую AC. Обозначим эту точку H. Тогда MH - искомое расстояние. Поскольку BM перпендикулярен плоскости ABC, то BM перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости, в частности, AC. Значит, угол BMA прямой.

Треугольник ABC - прямоугольный с гипотенузой AB = 17 и катетом AC = 8. По теореме Пифагора найдем длину катета BC:

$$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$$

Рассмотрим треугольник MBC. Он прямоугольный, т.к. BM перпендикулярна плоскости ABC. Катеты BM = 20 и BC = 15. По теореме Пифагора найдем длину гипотенузы MC:

$$MC = \sqrt{MB^2 + BC^2} = \sqrt{20^2 + 15^2} = \sqrt{400 + 225} = \sqrt{625} = 25$$

Расстояние от точки M до прямой AC - это MH. Рассмотрим треугольник MAC. Известны стороны AC = 8 и MC = 25. Площадь треугольника MAC можно вычислить двумя способами:

1) как половину произведения основания на высоту: S = 1/2 * AC * MH = 1/2 * 8 * MH = 4 * MH

2) Герона:

Сторона MA = \(\sqrt{MB^2 + BA^2} = \sqrt{20^2 + 17^2} = \sqrt{400 + 289} = \sqrt{689}\)

p = (MC + AC + MA)/2 = (25 + 8 + \(\sqrt{689}\))/2

S = \(\sqrt{p(p-25)(p-8)(p-\sqrt{689}\)}\)

Проведём AH перпендикулярно BC, тогда по теореме о трёх перпендикулярах MH перпендикулярно AC, то есть MH — расстояние от точки M до прямой AC.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. Его площадь равна:

$$S_{ABC} = \frac{1}{2} AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 15 = 60$$

Также площадь треугольника ABC можно выразить как:

$$S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot CH = \frac{1}{2} \cdot 17 \cdot CH = 60$$

Отсюда выразим CH:

$$CH = \frac{2 \cdot 60}{17} = \frac{120}{17}$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник MBH. Его площадь равна

$$S_{MBH} = \frac{1}{2} MB \cdot BC = 60 $$

Тогда AH^2 = CH^2 + AC^2; AH^2 = BM^2 + AH^2. Отсюда AH = 34

MH = 21.164

4 * MH = 60

MH = 15

Ответ: 15