Ответ на задание запишите в виде целого числа или конечной десятичной дроби. В треугольнике АВС угол АВС равен 120°, АВ = ВС, ВМ - медиана. На луче ВМ отметили точку F такую, что ∠BAF = 90°. Найдите FM, если АВ = 18.

В треугольнике ABC угол ABC равен 120°, AB = BC, BM - медиана. На луче BM отметили точку F такую, что угол BAF = 90°. Нужно найти FM, если AB = 18.

Так как AB = BC, то треугольник ABC равнобедренный с углом при вершине B равным 120°. Значит, углы BAC и BCA равны (180 - 120) / 2 = 30°.

BM - медиана, следовательно, она также является биссектрисой и высотой в равнобедренном треугольнике ABC. Значит, угол ABM = угол CBM = 120 / 2 = 60° и BM перпендикулярна AC.

В треугольнике ABF угол BAF = 90°. Следовательно, треугольник ABF - прямоугольный. Угол ABF = 180 - 90 - 30 = 60°.

Рассмотрим треугольник ABM. В нем угол ABM = 60°, угол BAM = 30°. Значит, AM = AB * sin(60°) = 18 * \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) = 9\(\sqrt{3}\).

Рассмотрим треугольник ABF, в котором угол BAF = 90 градусов, угол ABF = 60 градусов, следовательно, угол AFB = 30 градусов.

Так как AB = BC = 18, а BM медиана, то AM=MC

Так как AM = MC, то AC = 2AM = 18 * \(\sqrt{3}\)

Т.к. BM - биссектриса, то \(\angle ABM = \angle CBM = 60^\circ\).

\(\angle BAF = 90^\circ\), следовательно \(\angle AFM = 30^\circ\).

В прямоугольном треугольнике ABF катет BF, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы AB.

Значит, BF = AB/2 = 18/2 = 9

Т.к. BM - биссектриса, то \(\angle FBA = 60^\circ\), а \(\angle BFA = 30^\circ\), значит \(\angle BFA = \angle FAM = 30^\circ\) , следовательно AM = FM

Тогда FM = AB/2 = 9

Ответ: 9