Ответить на вопросы: 1. Какая функция называется непрерывной? 2. Что значит, что функция непрерывна в точке? 3. Как проверить непрерывность функции в конкретной точке? 4. В чём заключается метод интервалов? 5. Когда целесообразно применять метод интервалов для решения неравенств? 6. Какие шаги включает алгоритм метода интервалов?

Ответы на вопросы:

1. Непрерывная функция — это функция, график которой можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги. Формально, функция \( f(x) \) называется непрерывной в точке \( x_0 \), если она определена в некоторой окрестности этой точки и \( \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) \).
2. То, что функция непрерывна в точке \( x_0 \), означает, что в этой точке нет «скачков», «разрывов» или «дырок». Малое изменение аргумента \( x \) вызывает такое же малое изменение значения функции \( f(x) \).
3. Чтобы проверить непрерывность функции в конкретной точке \( x_0 \), нужно убедиться, что выполняются три условия:
   • Функция определена в точке \( x_0 \) (т.е. \( f(x_0) \) существует).
   • Существует предел функции \( \lim_{x \to x_0} f(x) \).
   • Предел функции равен значению функции в этой точке: \( \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) \).
4. Метод интервалов заключается в следующем: для решения неравенств вида \( f(x) > 0 \) или \( f(x) < 0 \) (где \( f(x) \) — непрерывная функция) находят корни уравнения \( f(x) = 0 \). Эти корни разбивают числовую прямую на интервалы, на каждом из которых знак функции постоянен. Затем исследуют знак функции на каждом из этих интервалов.
5. Метод интервалов целесообразно применять для решения рациональных неравенств (где \( f(x) \) — дробно-рациональная функция), а также неравенств, где \( f(x) \) является произведением или частным многочленов.
6. Алгоритм метода интервалов включает следующие шаги:
   • 1. Найти область определения функции (если функция дробно-рациональная).
   • 2. Найти нули функции, то есть решить уравнение \( f(x) = 0 \).
   • 3. Отметить найденные нули на числовой прямой. Эти точки разбивают числовую прямую на интервалы.
   • 4. Определить знак функции \( f(x) \) на каждом из полученных интервалов. Для этого достаточно взять любое число из интервала, подставить его в \( f(x) \) и определить знак.
   • 5. Записать ответ, учитывая знак исходного неравенства (строгий \( > \) или \( < \) или нестрогий \( \ge \) или \( \le \) неравенства).