Вариант 2: Исследовать непрерывную функцию f(x) = (x - 1)(x + 3)(x - 5)

Исследовать непрерывную функцию

Для функции \( f(x) = (x - 1)(x + 3)(x - 5) \):

1. Область определения: Функция является многочленом, поэтому определена для всех действительных чисел. \( D(f) = \mathbb{R} \).

2. Непрерывность: Многочлены являются непрерывными функциями на всей числовой прямой. Таким образом, \( f(x) \) непрерывна на \( \mathbb{R} \).

3. Корни функции: Приравняем функцию к нулю:

\( (x - 1)(x + 3)(x - 5) = 0 \)

Корни: \( x = 1 \), \( x = -3 \), \( x = 5 \).

4. Знаки функции на интервалах: Корни делят числовую прямую на следующие интервалы: \( (-\infty, -3) \), \( (-3, 1) \), \( (1, 5) \), \( (5, \infty) \).

• На \( (-\infty, -3) \), например, при \( x = -4 \): \( f(-4) = (-4 - 1)(-4 + 3)(-4 - 5) = (-5)(-1)(-9) = -45 < 0 \).
• На \( (-3, 1) \), например, при \( x = 0 \): \( f(0) = (0 - 1)(0 + 3)(0 - 5) = (-1)(3)(-5) = 15 > 0 \).
• На \( (1, 5) \), например, при \( x = 2 \): \( f(2) = (2 - 1)(2 + 3)(2 - 5) = (1)(5)(-3) = -15 < 0 \).
• На \( (5, \infty) \), например, при \( x = 6 \): \( f(6) = (6 - 1)(6 + 3)(6 - 5) = (5)(9)(1) = 45 > 0 \).

Итог: Функция \( f(x) = (x - 1)(x + 3)(x - 5) \) непрерывна на всей числовой прямой \( \mathbb{R} \).