8 Ответ: Найдите большую диагональ параллелограмма ABCD, стороны которо- го относятся как 2:3, а перпендикуляр АМ, проведённый к меньшей диагонали, делит её на отрезки 4 и 9.

Решение:

Пусть дан параллелограмм ABCD, в котором AB:AD = 2:3. Перпендикуляр AM проведен к меньшей диагонали BD и делит её на отрезки BM = 4 и MD = 9. Следовательно, BD = BM + MD = 4 + 9 = 13.

Рассмотрим треугольник ABD. Обозначим стороны AB = 2x, AD = 3x. Пусть большая диагональ AC = d.

По свойству параллелограмма, точка пересечения диагоналей делит каждую диагональ пополам. Пусть точка пересечения диагоналей - O. Тогда BO = OD = BD/2 = 13/2 = 6.5

По теореме Пифагора, в треугольнике ABM, AM² = AB² - BM² = (2x)² - 4² = 4x² - 16.

В треугольнике AMD, AM² = AD² - MD² = (3x)² - 9² = 9x² - 81.

Приравниваем выражения для AM²: 4x² - 16 = 9x² - 81. 5x² = 65. x² = 13. x = √13.

Тогда стороны параллелограмма AB = 2√13, AD = 3√13.

Для нахождения большей диагонали AC используем теорему косинусов для треугольника ABD: AD² = AB² + BD² - 2*AB*BD*cos(∠B) (3√13)² = (2√13)² + 13² - 2 * (2√13) * 13 * cos(∠B) 117 = 52 + 169 - 52√13 * cos(∠B) 52√13 * cos(∠B) = 104 cos(∠B) = 104 / (52√13) = 2/√13

Теперь найдем диагональ AC, используя теорему косинусов для треугольника ABC: AC² = AB² + BC² - 2*AB*BC*cos(∠B) AC² = (2√13)² + (3√13)² - 2*(2√13)*(3√13)*(2/√13) AC² = 52 + 117 - 24*13/√13 AC² = 169 - 312/√13 AC² = 169 - 24√13

Диагональ AC нельзя выразить простым числом. Условие задачи некорректное.

Используем формулу для суммы квадратов диагоналей параллелограмма: 2(AB^2 + AD^2) = AC^2 + BD^2 2((2x)^2 + (3x)^2) = AC^2 + 13^2 2(4x^2 + 9x^2) = AC^2 + 169 2(13x^2) = AC^2 + 169 26x^2 = AC^2 + 169 26 * 13 = AC^2 + 169 338 = AC^2 + 169 AC^2 = 169 AC = 13

Ответ: 13