Парабола задана уравнением \(y = -x^2 + 6x - 5\). а) Найдите координаты вершины параболы. б) Определите, куда (вверх или вниз) направлены ветви параболы, и объясните почему. в) Постройте параболу.

Давайте решим эту задачу по шагам. а) Найдем координаты вершины параболы. Уравнение параболы имеет вид \(y = ax^2 + bx + c\), где в нашем случае \(a = -1\), \(b = 6\) и \(c = -5\). Координату x вершины параболы можно найти по формуле: \[x_в = -\frac{b}{2a}\] Подставляем значения \(a\) и \(b\): \[x_в = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = -\frac{6}{-2} = 3\] Теперь найдем координату y вершины, подставив \(x_в = 3\) в уравнение параболы: \[y_в = -(3)^2 + 6 \cdot 3 - 5 = -9 + 18 - 5 = 4\] Таким образом, координаты вершины параболы: (3; 4). б) Определим направление ветвей параболы. Ветви параболы направлены вниз, так как коэффициент при \(x^2\) (то есть \(a\)) отрицательный (\(a = -1\)). Если \(a < 0\), то ветви параболы направлены вниз, а если \(a > 0\), то ветви направлены вверх. в) Построим параболу. Для построения параболы нам нужны несколько точек. Мы уже знаем вершину (3; 4). Найдем еще несколько точек, подставляя разные значения x в уравнение \(y = -x^2 + 6x - 5\): * Если \(x = 0\), то \(y = -0^2 + 6 \cdot 0 - 5 = -5\). Точка (0; -5). * Если \(x = 1\), то \(y = -1^2 + 6 \cdot 1 - 5 = -1 + 6 - 5 = 0\). Точка (1; 0). * Если \(x = 2\), то \(y = -2^2 + 6 \cdot 2 - 5 = -4 + 12 - 5 = 3\). Точка (2; 3). * Если \(x = 4\), то \(y = -4^2 + 6 \cdot 4 - 5 = -16 + 24 - 5 = 3\). Точка (4; 3). * Если \(x = 5\), то \(y = -5^2 + 6 \cdot 5 - 5 = -25 + 30 - 5 = 0\). Точка (5; 0). * Если \(x = 6\), то \(y = -6^2 + 6 \cdot 6 - 5 = -36 + 36 - 5 = -5\). Точка (6; -5). Теперь построим график, используя эти точки. В итоге, координаты вершины параболы (3; 4), ветви направлены вниз, так как коэффициент при \(x^2\) отрицательный, и мы построили параболу, найдя несколько точек.