Параллельная оси цилиндра плоскость отсекает от окружности основания дугу в 90°. Площадь сечения цилиндра этой плоскостью равна 600 кв. ед. изм. Определи расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения, если высота цилиндра равна 20 ед. изм.

Для решения данной задачи нам потребуется воспользоваться следующими данными: площадь сечения цилиндра, высота цилиндра и угол, который отсекает плоскость от окружности основания. Площадь сечения (S) равна 600 кв. ед. изм., а высота цилиндра (h) равна 20 ед. изм. Дуга, отсекаемая плоскостью, равна 90 градусам. 1. Выразим сторону прямоугольника (сечения), которая является хордой, через площадь сечения и высоту цилиндра: Площадь сечения равна произведению высоты цилиндра на длину хорды: \[S = h \cdot a\] Где (a) - длина хорды, образованной сечением. Отсюда находим длину хорды (a): \[a = \frac{S}{h} = \frac{600}{20} = 30\] 2. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом основания цилиндра (r), половиной хорды (\frac{a}{2}) и расстоянием (d) от оси цилиндра до плоскости сечения. Угол, опирающийся на хорду, равен 90°, следовательно, центральный угол также равен 90°. Тогда половина хорды равна \[\frac{a}{2} = \frac{30}{2} = 15\] 3. Так как угол равен 90°, радиус основания цилиндра можно найти, используя теорему Пифагора. В нашем случае, радиус является гипотенузой, а половина хорды и расстояние от оси до плоскости сечения - катетами. Но в данном случае радиус можно найти проще, если учесть, что хорда стягивает дугу в 90 градусов, тогда хорда равна (r\sqrt{2}), отсюда радиус основания равен: \[r = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{30}{\sqrt{2}} = 15\sqrt{2}\] 4. Теперь найдем расстояние (d) от оси цилиндра до плоскости сечения. Рассмотрим прямоугольный треугольник, где гипотенузой является радиус (r), одним из катетов является половина хорды (\frac{a}{2}), а другим катетом - расстояние (d). Используя теорему Пифагора: \[r^2 = d^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2\] \[d^2 = r^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2\] Подставляем известные значения: \[d^2 = (15\sqrt{2})^2 - 15^2 = 450 - 225 = 225\] \[d = \sqrt{225} = 15\] Таким образом, расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения равно 15. Ответ: расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения равно (15\sqrt{1}) ед. изм.