ПАРАЛЛЕЛОГРАММ Найдите углы параллелограмма ABCD.

$$ angle B - \angle A = 30^{\circ} $$

$$ angle B + \angle A = 180^{\circ} $$ (как внутренние односторонние)

Решим систему уравнений:

$$ angle B = 30^{\circ} + \angle A $$

$$ 30^{\circ} + \angle A + \angle A = 180^{\circ} $$

$$ 2 \angle A = 150^{\circ} $$

$$ \angle A = 75^{\circ} $$

$$ \angle B = 30^{\circ} + 75^{\circ} = 105^{\circ} $$

$$ \angle C = \angle A = 75^{\circ} $$

$$ \angle D = \angle B = 105^{\circ} $$

$$ \angle A : \angle B = 1 : 3 $$

$$ \angle A = x, \angle B = 3x $$

$$ \angle A + \angle B = 180^{\circ} $$

$$ x + 3x = 180^{\circ} $$

$$ 4x = 180^{\circ} $$

$$ x = 45^{\circ} $$

$$ \angle A = 45^{\circ} $$

$$ \angle B = 3 \cdot 45^{\circ} = 135^{\circ} $$

$$ \angle C = \angle A = 45^{\circ} $$

$$ \angle D = \angle B = 135^{\circ} $$

$$ \angle A = 90^{\circ} $$

В параллелограмме все углы по 90 градусов, значит это прямоугольник.

$$ \angle B = \angle C = \angle D = 90^{\circ} $$

$$ AO = BO = CO = DO $$

Диагонали в точке пересечения делятся пополам и равны, значит это прямоугольник.

$$ \angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90^{\circ} $$

$$ AB = AD $$

$$ \angle OAB = 30^{\circ} $$

Рассмотрим треугольник $$ AOB $$. Он равнобедренный, так как $$ AO = BO $$ (половинки диагоналей ромба равны).

$$ \angle OBA = \angle OAB = 30^{\circ} $$

$$ \angle AOB = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 30^{\circ} = 120^{\circ} $$

$$ \angle BOC = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} $$

Треугольник $$ BOC $$ равнобедренный, т.к. диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам, значит $$ BO = CO $$.

$$ \angle OBC = \angle OCB = (180^{\circ} - 60^{\circ}) / 2 = 60^{\circ} $$

Тогда треугольник $$ BOC $$ – равносторонний.

$$ \angle ABC = \angle OBA + \angle OBC = 30^{\circ} + 60^{\circ} = 90^{\circ} $$

$$ \angle A = \angle C = 90^{\circ} $$

$$ \angle B = \angle D = 90^{\circ} $$

$$ \angle BAO = \angle OAD $$

$$ \angle OAD : \angle ODA = 1 : 2 $$

Пусть $$ \angle OAD = x $$, тогда $$ \angle ODA = 2x $$.

Рассмотрим треугольник $$ AOD $$.

$$ \angle AOD = 180^{\circ} - x - 2x = 180^{\circ} - 3x $$

$$ \angle AOB = 180^{\circ} - \angle AOD = 180^{\circ} - (180^{\circ} - 3x) = 3x $$

Так как диагонали ромба перпендикулярны, то $$ 3x = 90^{\circ} $$, отсюда $$ x = 30^{\circ} $$.

Значит, $$ \angle OAD = 30^{\circ} $$, $$ \angle ODA = 60^{\circ} $$.

$$ \angle BAD = 2 \cdot \angle OAD = 2 \cdot 30^{\circ} = 60^{\circ} $$

$$ \angle BCD = \angle BAD = 60^{\circ} $$

$$ \angle ABC = \angle ADC = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ} $$

$$ \angle BOC = 90^{\circ} $$

$$ \angle OAD : \angle ODC = 1 : 2 $$

Пусть $$ \angle OAD = x $$, тогда $$ \angle ODC = 2x $$.

Рассмотрим треугольник $$ AOD $$.

$$ \angle AOD = 90^{\circ} $$, так как диагонали ромба перпендикулярны.

$$ \angle OAD + \angle ODA = 90^{\circ} $$

$$ x + 2x = 90^{\circ} $$

$$ 3x = 90^{\circ} $$

$$ x = 30^{\circ} $$

$$ \angle OAD = 30^{\circ} $$, $$ \angle ODC = 60^{\circ} $$

$$ \angle A = 2 \cdot \angle OAD = 2 \cdot 30^{\circ} = 60^{\circ} $$

$$ \angle C = \angle A = 60^{\circ} $$

$$ \angle B = \angle D = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ} $$