Перед сдачей вступительных экзаменов в институт Миша предполагал, что: 1. если он сдаст математику, то информатику он сдаст только при условии, что не завалит диктант; 2. не может быть, чтобы он завалили диктант, и математику; 3. достаточное условие завала по информатике – это двойка по диктанту. После сдачи экзаменов сказалось, что из трех высказанных предположений только одно было ложные. Как Мице сдал экзамены?

Пошаговое решение:

Обозначим: М - сдал математику, И - сдал информатику, Д - не завалил диктант.

1. Первое высказывание: Если М, то И только при Д. Это можно записать как: M → (И → Д).
2. Второе высказывание: Не может быть, чтобы завалил диктант и математику. ¬(¬Д ∧ М).
3. Третье высказывание: Достаточное условие завала по информатике – это двойка по диктанту. ¬И → ¬Д.

Проанализируем, что только одно высказывание ложно. Рассмотрим случаи:

1. Предположим, что первое высказывание ложно:M истинно, (И → Д) ложно, значит И истинно, Д ложно. Тогда: M = 1, И = 1, Д = 0. Проверяем второе высказывание: ¬(¬Д ∧ М) = ¬(1 ∧ 1) = ¬1 = 0 (ложно). Проверяем третье высказывание: ¬И → ¬Д = 0 → 1 = 1 (истинно). Получается два ложных высказывания, что противоречит условию.
2. Предположим, что второе высказывание ложно:¬(¬Д ∧ М) = 0, значит (¬Д ∧ М) = 1, значит Д = 0, М = 1. Тогда: Д = 0, М = 1. Проверяем первое высказывание: M → (И → Д) = 1 → (И → 0) = 1 → ¬И. Чтобы первое высказывание было истинным, ¬И должно быть истинным, значит И = 0. Проверяем третье высказывание: ¬И → ¬Д = 1 → 1 = 1 (истинно). Имеем: М = 1, И = 0, Д = 0. Только второе высказывание ложно, условие выполняется.
3. Предположим, что третье высказывание ложно:¬И → ¬Д = 0, значит ¬И = 1 и ¬Д = 0, значит И = 0, Д = 1. Тогда: И = 0, Д = 1. Проверяем первое высказывание: M → (И → Д) = M → (0 → 1) = M → 1 = 1 (истинно, независимо от М). Проверяем второе высказывание: ¬(¬Д ∧ М) = ¬(0 ∧ М) = ¬0 = 1 (истинно, независимо от М). Получается три истинных высказывания, что противоречит условию.

Единственный случай, когда только одно высказывание ложно, это когда Миша сдал математику, завалил информатику и завалил диктант (М = 1, И = 0, Д = 0).

Ответ: Миша сдал математику, завалил информатику и завалил диктант.