424. Периметр прямоугольного тре- угольника равен 84 см, а его ги- потенуза равна 37 см. Найдите площадь этого треугольника.

Пусть a и b — катеты прямоугольного треугольника. Периметр P равен сумме длин всех сторон, то есть:

$$ P = a + b + c $$

где c — гипотенуза. Из условия известно, что P = 84 см и c = 37 см, следовательно:

$$ a + b = P - c = 84 - 37 = 47 \text{ см} $$

Также известно, что для прямоугольного треугольника выполняется теорема Пифагора:

$$ a^2 + b^2 = c^2 $$

Тогда:

$$ a^2 + b^2 = 37^2 = 1369 $$

Выразим a через b из первого уравнения:

$$ a = 47 - b $$

Подставим это во второе уравнение:

$$ (47 - b)^2 + b^2 = 1369 $$ $$ 2209 - 94b + b^2 + b^2 = 1369 $$ $$ 2b^2 - 94b + 840 = 0 $$ $$ b^2 - 47b + 420 = 0 $$

Решим квадратное уравнение:

$$ D = (-47)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 420 = 2209 - 1680 = 529 $$ $$ b_1 = \frac{47 + \sqrt{529}}{2} = \frac{47 + 23}{2} = \frac{70}{2} = 35 \text{ см} $$ $$ b_2 = \frac{47 - \sqrt{529}}{2} = \frac{47 - 23}{2} = \frac{24}{2} = 12 \text{ см} $$

Если b = 35 см, то a = 47 - 35 = 12 см.

Если b = 12 см, то a = 47 - 12 = 35 см.

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле:

$$ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b $$

Подставим значения:

$$ S = \frac{1}{2} \cdot 35 \cdot 12 = \frac{420}{2} = 210 \text{ см}^2 $$

Ответ: площадь треугольника 210 см².