Периметр прямоугольного треугольника равен 70 см, гипотенуза равна 29 см. Найдите катеты этого треугольника. Чему равен меньший катет этого треугольника? Чему равен больший катет этого треугольника?

Давайте решим эту задачу вместе. Нам дан периметр прямоугольного треугольника (70 см) и его гипотенуза (29 см). Нужно найти длины катетов. **Решение:** 1. **Обозначим катеты:** Пусть (a) и (b) - катеты прямоугольного треугольника, где (a < b). 2. **Запишем уравнение для периметра:** Периметр треугольника - это сумма длин всех его сторон. Следовательно, (a + b + 29 = 70). 3. **Упростим уравнение:** Вычтем 29 из обеих частей уравнения: (a + b = 70 - 29), значит (a + b = 41). 4. **Выразим один катет через другой:** Выразим (b) через (a): (b = 41 - a). 5. **Применим теорему Пифагора:** Так как это прямоугольный треугольник, выполняется теорема Пифагора: (a^2 + b^2 = 29^2). 6. **Подставим выражение для (b) в теорему Пифагора:** (a^2 + (41 - a)^2 = 29^2). 7. **Раскроем скобки и упростим уравнение:** (a^2 + (1681 - 82a + a^2) = 841). (2a^2 - 82a + 1681 = 841). (2a^2 - 82a + 840 = 0). 8. **Разделим уравнение на 2:** (a^2 - 41a + 420 = 0). 9. **Решим квадратное уравнение:** Найдем дискриминант (D = (-41)^2 - 4 cdot 1 cdot 420 = 1681 - 1680 = 1). Найдем корни уравнения: (a_1 = rac{41 + sqrt{1}}{2} = rac{41 + 1}{2} = 21). (a_2 = rac{41 - sqrt{1}}{2} = rac{41 - 1}{2} = 20). 10. **Найдем значения катетов:** Если (a = 21), то (b = 41 - 21 = 20). Но так как по условию (a < b), то (a = 20), а (b = 21). **Ответ:** Меньший катет равен 20 см. Больший катет равен 21 см.