17. Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 78, а большая из боковых сторон равна 23. Найдите радиус окружности.

Пусть a и b - основания трапеции, c и d - боковые стороны, где d = 23. Трапеция описана около окружности, значит, суммы противоположных сторон равны: $$a + b = c + d$$. Периметр равен $$P = a + b + c + d = 78$$. Подставим $$a + b = c + d$$ в выражение для периметра: $$c + d + c + d = 78$$ $$2(c + d) = 78$$ $$c + d = 39$$ Так как d = 23, то $$c = 39 - 23 = 16$$. В прямоугольной трапеции одна из боковых сторон является высотой. То есть c = 16 это высота. Высота трапеции равна диаметру вписанной окружности, значит, $$2r = 16$$, где r - радиус окружности. Отсюда $$r = \frac{16}{2} = 8$$. Ответ: 8