Решение

1. Периметр треугольника MNC равен сумме длин всех его сторон: $$P_{MNC} = MC + CN + MN = 54$$

2. Треугольник MNC - равнобедренный, следовательно, MC = CN. Тогда: $$2MC + MN = 54$$

3. Высота CH, опущенная на основание MN, равна 21 см.

4. Т.к. треугольник MNC равнобедренный, то высота CH является и медианой. Следовательно, MH = HN, а значит, MN = 2MH.

5. Рассмотрим прямоугольный треугольник MCH. В нем известна высота CH = 21 см.

6. Выразим MC из периметра треугольника MNC: $$2MC = 54 - MN$$ $$MC = (54 - MN)/2$$ $$MC = 27 - MN/2$$

7. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника MCH: $$MC^2 = MH^2 + CH^2$$ $$(27 - MN/2)^2 = MH^2 + 21^2$$ $$27^2 - 2*27*MN/2 + (MN/2)^2 = MH^2 + 441$$ $$729 - 27MN + MN^2/4 = MH^2 + 441$$ $$288 - 27MN + MN^2/4 = MH^2$$

8. Заменим MN = 2MH: $$288 - 27*2MH + (2MH)^2/4 = MH^2$$ $$288 - 54MH + 4MH^2/4 = MH^2$$ $$288 - 54MH + MH^2 = MH^2$$ $$288 - 54MH = 0$$ $$54MH = 288$$ $$MH = 288/54 = 16/3$$

9. MN = 2MH = 2 * 16/3 = 32/3

10. MC = 27 - MN/2 = 27 - (32/3)/2 = 27 - 16/3 = (81 - 16)/3 = 65/3

11. Периметр треугольника MCH равен сумме длин его сторон: $$P_{MCH} = MC + CH + MH$$ $$P_{MCH} = 65/3 + 21 + 16/3$$ $$P_{MCH} = (65 + 63 + 16)/3 = 144/3 = 48$$

Ответ: Периметр треугольника MCH равен 48 см.