17. Периметр равнобедренного треугольника равен 162, a основание - 72. Найдите площадь треугольника.

Пусть боковая сторона треугольника равна $$x$$. Тогда, периметр треугольника равен сумме всех сторон:

$$P = x + x + 72 = 162$$

$$2x = 162 - 72$$

$$2x = 90$$

$$x = 45$$

Боковая сторона треугольника равна 45.

Проведем высоту к основанию. В равнобедренном треугольнике высота является и медианой, поэтому основание делится пополам:

$$\frac{72}{2} = 36$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, половиной основания и боковой стороной. По теореме Пифагора найдем высоту:

$$h^2 + 36^2 = 45^2$$

$$h^2 = 45^2 - 36^2 = 2025 - 1296 = 729$$

$$h = \sqrt{729} = 27$$

Высота треугольника равна 27.

Найдем площадь треугольника:

$$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 72 \cdot 27 = 36 \cdot 27 = 972$$

Площадь треугольника равна 972.

Ответ: 972