6. Периметр равнобедренного треугольника равен 216, а бо- ковая сторона – 78. Найдите площадь треугольника.

Для решения задачи необходимо знать основание равнобедренного треугольника. Так как в задании этой информации нет, решить ее не представляется возможным.

Приведем пример решения подобной задачи:

Пусть периметр равнобедренного треугольника равен 216, боковая сторона равна 78. Найдем основание:

1. Пусть $$a$$ - боковая сторона, $$b$$ - основание, тогда периметр равен $$P = 2a + b$$.

Отсюда, $$b = P - 2a = 216 - 2 \cdot 78 = 216 - 156 = 60$$.

2. Найдем высоту, проведенную к основанию. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, боковой стороной и половиной основания. По теореме Пифагора:

$$h^2 = a^2 - (\frac{b}{2})^2 = 78^2 - 30^2 = (78-30)(78+30) = 48 \cdot 108 = 16 \cdot 3 \cdot 36 \cdot 3 = 4^2 \cdot 3^2 \cdot 6^2$$

$$h = \sqrt{4^2 \cdot 3^2 \cdot 6^2} = 4 \cdot 3 \cdot 6 = 72$$

3. Найдем площадь треугольника: $$S = \frac{1}{2} b h = \frac{1}{2} \cdot 60 \cdot 72 = 30 \cdot 72 = 2160$$

Ответ: 2160, при известных размерах треугольника.