Перпендикуляр, проведенный из вершины тупого угла ромба, делит его сторону пополам. Периметр ромба равен 36 см. Найдите углы и меньшую диагональ ромба.

Найдём сторону ромба: 36 : 4 = 9 см.

Пусть тупой угол ромба равен α. Перпендикуляр из его вершины опущен на противоположную сторону и попадает в её середину. Проекция стороны ромба на направление этой стороны равна половине стороны ромба, поэтому cos(180° − α) = 1/2. Отсюда 180° − α = 60°, значит, α = 120°.

Соседний угол ромба дополняет тупой до 180°: 180° − 120° = 60°.

Меньшая диагональ соединяет вершины острых углов. Она является основанием равностороннего треугольника со сторонами, равными стороне ромба: её длина равна 9 см.

Ответ: углы ромба — 60° и 120°; меньшая диагональ — 9 см.