Перпендикулярно высоте BD треугольника АВС проведена прямая, пересекающая стороны АВ и ВС в точках М и Р соответственно. Найдите АВ и отношение площадей треугольников МРВ и АВС, если известно, что ВМ = 7 см, ВР = 9 см, РС = 18 см.

**Нахождение AB** Сначала найдем сторону BC. BC = BP + PC = 9 + 18 = 27 см Так как прямая MP перпендикулярна высоте BD, она параллельна стороне AC, то есть MP||AC. Треугольники MPB и ABC подобны по двум углам: 1. \( \angle MPB = \angle ACB\) (как соответственные углы при MP||AC и секущей BC) 2. \( \angle MBP = \angle ABC\) (общий угол) Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон: $$\frac{MB}{AB} = \frac{BP}{BC}$$ Подставим известные значения: $$\frac{7}{AB} = \frac{9}{27}$$ Упростим: $$\frac{7}{AB} = \frac{1}{3}$$ Найдем AB: $$AB = 7 \cdot 3 = 21$$ см **Нахождение отношения площадей** Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Коэффициент подобия равен отношению соответствующих сторон: $$k = \frac{BP}{BC} = \frac{9}{27} = \frac{1}{3}$$ Отношение площадей: $$\frac{S_{MPB}}{S_{ABC}} = k^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}$$ **Ответ:** AB = 21 см, отношение площадей треугольников MPB и ABC равно 1/9.