Прямая EF пересекает стороны AB и BC треугольника ABC в точках E и F соответственно так, что ∠A + ∠EFC = 180°, а площадь четырехугольника AEFC относится к площади треугольника EBF как 16 : 9. Докажите, что треугольник ABC подобен треугольнику EBF.

**Доказательство подобия треугольников ABC и EBF** Дано: ∠A + ∠EFC = 180° Сумма углов в треугольнике EFC равна 180 градусам. Следовательно, ∠FEC + ∠EFC + ∠ECF = 180° Также известно, что ∠A + ∠EFC = 180°. Это значит, что ∠A = 180° - ∠EFC. А также, ∠FEC + ∠ECF = 180° - ∠EFC. Следовательно ∠A = ∠FEC + ∠ECF, поскольку у нас ∠A + ∠EFC = 180° а также ∠FEC + ∠EFC + ∠ECF = 180° ∠A + ∠EFC = ∠FEC + ∠EFC + ∠ECF. Откуда ∠A = ∠FEC + ∠ECF. Рассмотрим треугольники ABC и EBF. Угол ∠B общий для двух треугольников. Также докажем, что ∠BAC = ∠BEF. У нас известно ∠A + ∠EFC = 180°, где ∠EFC является смежным к ∠EFB, следовательно ∠EFC + ∠EFB = 180°. Отсюда следует, что ∠A = ∠EFB. Треугольники ABC и EBF имеют два равных угла: * ∠B - общий. * ∠A = ∠EFB (по доказанному выше). Из этого следует подобие треугольников ABC и EBF по двум углам. **Доказательство, что площадь четырехугольника AEFC относится к площади треугольника EBF как 16:9.** Дано, что площадь четырехугольника AEFC относится к площади треугольника EBF как 16:9. Запишем это в виде: $$\frac{S_{AEFC}}{S_{EBF}} = \frac{16}{9}$$ Площадь треугольника ABC состоит из площадей четырехугольника AEFC и треугольника EBF. Следовательно: $$S_{ABC} = S_{AEFC} + S_{EBF}$$ Представим площадь четырехугольника как $$S_{AEFC} = 16x$$, а площадь треугольника EBF как $$S_{EBF} = 9x$$, где x - некоторая константа. Следовательно площадь треугольника ABC равна $$S_{ABC} = 16x + 9x = 25x$$. Теперь найдем отношение площадей треугольников ABC и EBF: $$\frac{S_{ABC}}{S_{EBF}} = \frac{25x}{9x} = \frac{25}{9}$$ Мы выяснили, что отношение площадей треугольников ABC и EBF равно 25:9. **Ответ:** Треугольники ABC и EBF подобны по двум углам (∠B общий, ∠A=∠EFB). Площади относятся как 25:9