255. Первый лыжник прошёл дистанцию 30 км на $$2 \frac{1}{2}$$ ч быстрее, чем второй дистанцию 45 км, хотя скорость второго была на 3 км/ч больше. За какое время первый лыжник прошёл 30 км?

Пусть $$v_1$$ - скорость первого лыжника, а $$t_1$$ - время, которое он затратил на дистанцию 30 км. Тогда $$v_2$$ - скорость второго лыжника, а $$t_2$$ - время, которое он затратил на дистанцию 45 км.

Из условия задачи имеем:

1. $$t_1 = t_2 + 2 \frac{1}{2}$$ или $$t_1 = t_2 + 2.5$$
2. $$v_2 = v_1 + 3$$

Также имеем:

1. $$t_1 = \frac{30}{v_1}$$
2. $$t_2 = \frac{45}{v_2}$$

Подставим (2) в (4):

$$t_2 = \frac{45}{v_1 + 3}$$

Подставим (3) в (1):

$$\frac{30}{v_1} = \frac{45}{v_1 + 3} + 2.5$$

Умножим обе части уравнения на $$v_1(v_1 + 3)$$.

$$30(v_1 + 3) = 45v_1 + 2.5v_1(v_1 + 3)$$ $$30v_1 + 90 = 45v_1 + 2.5v_1^2 + 7.5v_1$$ $$2.5v_1^2 + 22.5v_1 - 90 = 0$$

Разделим на 2.5:

$$v_1^2 + 9v_1 - 36 = 0$$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$$D = 9^2 - 4(1)(-36) = 81 + 144 = 225$$ $$v_1 = \frac{-9 \pm \sqrt{225}}{2} = \frac{-9 \pm 15}{2}$$

Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем положительное значение:

$$v_1 = \frac{-9 + 15}{2} = \frac{6}{2} = 3 \text{ км/ч}$$

Теперь найдем время первого лыжника:

$$t_1 = \frac{30}{v_1} = \frac{30}{3} = 10 \text{ часов}$$

Ответ: Первый лыжник прошёл дистанцию 30 км за 10 часов.