2. Первый нитяной маятник совершил за некоторое время 10 колебаний, а второй за то же время — 15 колебаний. Длины этих маятников отличаются на 50 см. а) Длина нити какого маятника меньше? Обоснуйте свой ответ. б) Во сколько раз длина нити одного маятника больше, чем длина нити другого? в) Чему равны длины нитей маятников?

а) Период колебаний нитяного маятника определяется формулой $$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$$, где $$l$$ - длина нити маятника, $$g$$ - ускорение свободного падения. Из формулы следует, что чем больше длина нити, тем больше период колебаний. Первый маятник совершил меньше колебаний за то же время, значит, его период больше, а длина нити больше. Следовательно, длина нити второго маятника меньше.

б) Пусть $$t$$ - время колебаний, $$n_1 = 10$$ - число колебаний первого маятника, $$n_2 = 15$$ - число колебаний второго маятника. Тогда периоды колебаний маятников равны: $$T_1 = \frac{t}{n_1}$$, $$T_2 = \frac{t}{n_2}$$. Из формулы $$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$$ следует, что $$\frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{l_1}{l_2}}$$. Тогда $$\frac{l_1}{l_2} = \frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{n_2^2}{n_1^2} = \frac{15^2}{10^2} = \frac{225}{100} = 2.25$$. Длина нити первого маятника в 2.25 раза больше длины нити второго маятника.

в) Пусть $$l_2 = x$$, тогда $$l_1 = 2.25x$$. Из условия $$l_1 - l_2 = 50 \text{ см}$$, следует, что $$2.25x - x = 50 \text{ см}$$, $$1.25x = 50 \text{ см}$$, $$x = 40 \text{ см}$$. Тогда $$l_2 = 40 \text{ см}$$, $$l_1 = 2.25 \times 40 \text{ см} = 90 \text{ см}$$.

Ответ: а) Длина нити второго маятника меньше; б) в 2.25 раза; в) 90 см и 40 см