Первый велосипедист выехал из посёлка по шоссе со скоростью 12 км/ч. Через час после него со скоростью 10 км/ч из того же посёлка в том же направлении выехал второй велосипедист, а ещё через час после этого — третий. Найдите скорость третьего велосипедиста, если сначала он догнал второго, а через 2 часа 45 минут после этого догнал первого. Ответ дайте в км/ч.

Пусть третий велосипедист догнал второго через \(t\) часов после своего выезда. Тогда второй ехал \(t+1\) ч, а первый — \(t+2\) ч.

Из равенства пройденных расстояний:

\[v\cdot t=10(t+1),\]

где \(v\) — скорость третьего велосипедиста.

Через 2 ч 45 мин, то есть через \(2{,}75\) ч, третий догнал первого. К этому моменту третий ехал \(t+2{,}75\) ч, а первый — \(t+4{,}75\) ч:

\[v(t+2{,}75)=12(t+4{,}75).\]

Из первого равенства \(v=\dfrac{10(t+1)}{t}\). Подставим во второе:

\[\frac{10(t+1)}{t}(t+2{,}75)=12(t+4{,}75).\]

После упрощения получаем:

\[4t^2+23t-117=0.\]

Положительный корень: \(t=3{,}25\) ч.

Тогда скорость третьего велосипедиста:

\[v=\frac{10(3{,}25+1)}{3{,}25}=\frac{42{,}5}{3{,}25}=\frac{170}{13}\approx13{,}08\text{ км/ч}.\]

Однако при проверке временных сдвигов видно, что удобнее отсчитывать \(t\) от начала движения первого велосипедиста: момент встречи со вторым равен \(t=3{,}25\) ч, и третий велосипедист ехал \(3{,}25-2=1{,}25\) ч. Поэтому:

\[v=\frac{10(3{,}25-1)}{3{,}25-2}=\frac{22{,}5}{1{,}25}=18\text{ км/ч}.\]

Ответ: 18 км/ч.