14. Петя и Гриша играли в баскетбол, где за каждое попадание мячом в корзину даётся одно, два или три очка. Оба мальчика попали мячом в корзину по 10 раз, при этом Петя набрал на 19 очков больше, чем Гриша. Сколько раз Петя получал одно очко за свой бросок? Запишите решение и ответ.

Решение: Пусть $$x$$ – количество раз, когда Петя получил 1 очко, $$y$$ – количество раз, когда Петя получил 2 очка, и $$z$$ – количество раз, когда Петя получил 3 очка. Тогда у нас есть следующие условия: 1. $$x + y + z = 10$$ (так как Петя попал в корзину 10 раз) 2. Пусть Гриша всегда получал по одному очку за бросок, значит, Гриша набрал $$10 \cdot 1 = 10$$ очков. Петя набрал на 19 очков больше, чем Гриша, то есть Петя набрал $$10 + 19 = 29$$ очков. Значит, $$1x + 2y + 3z = 29$$ Теперь у нас есть система уравнений: $$\begin{cases} x + y + z = 10 \\ x + 2y + 3z = 29 \end{cases}$$ Выразим $$x$$ из первого уравнения: $$x = 10 - y - z$$ и подставим во второе уравнение: $$(10 - y - z) + 2y + 3z = 29$$ $$10 + y + 2z = 29$$ $$y + 2z = 19$$ Так как $$x, y, z$$ - целые неотрицательные числа, и $$x + y + z = 10$$, нужно найти возможные значения $$y$$ и $$z$$ такие, чтобы $$y + 2z = 19$$ и при этом $$y + z \le 10$$. Если $$z = 9$$, то $$y = 19 - 2 \cdot 9 = 19 - 18 = 1$$. Тогда $$x = 10 - 1 - 9 = 0$$. Если $$z = 8$$, то $$y = 19 - 2 \cdot 8 = 19 - 16 = 3$$. Тогда $$x = 10 - 3 - 8 = -1$$, что невозможно. Значит, единственное возможное решение: $$x = 0, y = 1, z = 9$$. Это значит, что Петя ни разу не получал 1 очко, 1 раз получал 2 очка и 9 раз получал 3 очка. Проверим: $$0 + 1 + 9 = 10$$ (всего 10 бросков) $$1 \cdot 0 + 2 \cdot 1 + 3 \cdot 9 = 0 + 2 + 27 = 29$$ (всего 29 очков) Пусть Гриша всегда получал 2 очка за бросок, значит, Гриша набрал $$10 \cdot 2 = 20$$ очков. Петя набрал на 9 очков больше, чем Гриша, то есть Петя набрал $$20 + 9 = 29$$ очков. Чтобы Петя набрал на 19 очков больше Гриши, Петя мог получать разные очки, а Гриша получал всегда 1 очко, тогда у Гриши было 10 очков. Пусть $$x$$ – количество раз, когда Петя получил 1 очко, $$y$$ – количество раз, когда Петя получил 2 очка, и $$z$$ – количество раз, когда Петя получил 3 очка. $$x + y + z = 10$$ и $$x + 2y + 3z = 29$$ Подставим $$x = 10 - y - z$$ во второе уравнение: $$10 - y - z + 2y + 3z = 29$$ $$y + 2z = 19$$ Если $$z = 7$$, то $$y = 19 - 14 = 5$$. Тогда $$x = 10 - 5 - 7 = -2$$, что невозможно. Если $$z = 6$$, то $$y = 19 - 12 = 7$$. Тогда $$x = 10 - 7 - 6 = -3$$, что невозможно. Если $$z = 8$$, то $$y = 19 - 16 = 3$$. Тогда $$x = 10 - 3 - 8 = -1$$, что невозможно. Если $$z = 9$$, то $$y = 19 - 18 = 1$$. Тогда $$x = 10 - 1 - 9 = 0$$ Петя получил 0 раз по 1 очку, 1 раз по 2 очка и 9 раз по 3 очка Проверим: $$0 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 9 \cdot 3 = 0 + 2 + 27 = 29$$ $$29 - 10 = 19$$ (на 19 очков больше, чем Гриша) **Ответ: 0 раз**