17 Петя записал на доске четырёхзначное натуральное число, делящееся нацело на 36. К доске подошёл Вася и стёр две средние цифры этого числа. Теперь известно лишь, что начиналось число с цифры 5, а заканчивалось цифрой 2. Найдите все возможные числа, которые мог записать Петя.

Решение: Пусть искомое число имеет вид 5xу2, где x и y - стертые цифры. Так как число делится на 36, оно должно делиться на 4 и на 9. Делимость на 4: Число, образованное двумя последними цифрами, должно делиться на 4. В нашем случае это 5xy2. Значит, число 5002 должно делиться на 4. Это число делится на 4 (5002 / 4 = 1250,5), значит, нам нужно проверить, когда число делится на 4. Две последние цифры должны делится на 4, т.е. 2, подходит. Число 5ху2 должно делится на 4 и 9, и последняя цифра 2. Делимость на 9: Сумма цифр числа должна делиться на 9. То есть, 5 + x + y + 2 должно делиться на 9. Это значит, что 7 + x + y должно делиться на 9. Следовательно, x + y может быть равно 2 или 11. Найдем возможные значения x и y: Если x + y = 2, то возможные пары (x, y): (0, 2), (1, 1), (2, 0) Если x + y = 11, то возможные пары (x, y): (2, 9), (3, 8), (4, 7), (5, 6), (6, 5), (7, 4), (8, 3), (9, 2) Теперь проверим, какие из этих чисел делятся на 36: 5022 / 36 = 139,5 (не делится) 5112 / 36 = 142 (делится) 5202 / 36 = 144,5 (не делится) 5292 / 36 = 147 (делится) 5382 / 36 = 149,5 (не делится) 5472 / 36 = 152 (делится) 5562 / 36 = 154,5 (не делится) 5652 / 36 = 157 (делится) 5742 / 36 = 159,5 (не делится) 5832 / 36 = 162 (делится) 5922 / 36 = 164,5 (не делится) Таким образом, возможные числа, которые мог записать Петя: 5112, 5292, 5472, 5652, 5832. Ответ: 5112, 5292, 5472, 5652, 5832.