Пирамида — правильная. Диагональ основания равна 8, ребро 5. Чему равна высота?

Решение:

Пирамида правильная, значит, в основании лежит правильный многоугольник. Диагональ основания равна 8. По условию, ребро пирамиды равно 5.

1. Так как пирамида правильная, основание — квадрат. Диагональ квадрата \( d = a\sqrt{2} \), где \( a \) — сторона квадрата.
2. \( 8 = a\sqrt{2} \) \( \implies a = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2} \).
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды \( H \), боковым ребром \( L = 5 \) и радиусом описанной окружности около основания \( R \).
4. Диагональ основания \( d = 8 \). Радиус описанной окружности \( R = \frac{d}{2} = \frac{8}{2} = 4 \).
5. По теореме Пифагора: \( L^2 = H^2 + R^2 \).
6. \( 5^2 = H^2 + 4^2 \)
7. \( 25 = H^2 + 16 \)
8. \( H^2 = 25 - 16 = 9 \)
9. \( H = \sqrt{9} = 3 \).

Ответ: 3 ед.